|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์จำนวนเชิงซ้อน...หาค่าน้อยที่สุดของขนาด
ได้โจทย์มาจากเพจคณิตม.ปลาย
กำหนดให้ $A=\left\{\,z\left|\,\right. \left|\,z-1\right|+\left|\,z+5\right| =10 \right\} $ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $\left|\,z-8-21i\right| $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#2
|
|||
|
|||
ยากจังเลยครับ
รบกวนวิธีทำด้วยครับ |
#3
|
|||
|
|||
$ \sqrt{466} $
|
#4
|
|||
|
|||
ผมยังไม่ได้คิดจริงๆจังๆ แนะว่าแค่ลองมองเป็นกราฟดูครับ
สมมติว่าถ้า $z$ ไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อนละครับ (ยุบแกน y ทิ้งไปเลย) โจทย์มันจะกลายเป็น $|x-1|+|x+5|=10$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนจริง หาค่า $x$ ที่ทำให้ $|x-8|$ น้อยสุดหมายความว่า $x$ ต้องอยู่ชิดกับ 8 มากสุด โจทย์ดูง่ายขึ้นเลยใช่มั้ย เพราะงั้นสำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z$ มันก็แค่เป็นการต่อแกน y เพิ่มขึ้นมา สรุปว่า ลองมองเป็นกราฟดูครับ |
#5
|
||||
|
||||
$ \left|\,z-1\right|+\left|\,z+5\right| =10 $
เป็นกราฟวงรีบนระนาบเชิงซ้อน ที่มีจุดศูนย์กลางคือ $(-2,0)$ และจุดโฟกัสคือ $(-5,0)$ กับ $(1,0)$ ระยะแกนเอกคือ $5$ ระยะโฟกัสคือ $3$ $\left|\,z-8-21i\right| $ คือระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังจุด $(8,21)$ ลองแทนจุด $(8,21)$ ลงในสมการเพื่อดูว่าอยู่ในหรือนอกวงรี $\left|\,(8+21i)-1\right|+\left|\,(8+21i)+5\right| =\sqrt{7^2+21^2}+\sqrt{13^2+21^2} $ $=7\sqrt{10}+\sqrt{610} $ อยู่นอกวงรี เช็คจุดตัดแกนตั้งกับแกนนอน จุดตัดแกนนอนคือ $(a,0)$ $\left|\,a-1\right|+\left|\,a+5\right|=10 $ ได้ $a=3$ จุดตัดแกนตั้งคือ $(0,b)$ $\left|\,bi-1\right|+\left|\,bi+5\right|=10 $ $\sqrt{1+b^2}+\sqrt{25+b^2} =10$ $\sqrt{25+b^2} =10-\sqrt{1+b^2}$ $25+b^2=100-2\sqrt{1+b^2}+1+b^2$ $76-2\sqrt{1+b^2}=0$ $\sqrt{1+b^2}=38$ $b^2=38^2-1=1443$ $b=\pm \sqrt{1443} $ กำลังมึนได้จุดตัดบนQ1แล้ว ดันลืมไปว่าวงรี ไม่ใช่วงกลม
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#6
|
|||
|
|||
สรุปว่าได้คำตอบหรือยัง ?
(ไม่ใช่ $\sqrt{466}$ แน่นอนครับ ) ที่ผมบอกว่าไม่ใช่คำตอบนั้นแน่นอน ลองสังเกตดูว่าจุด $(-2,4)$ อยู่บนวงรี (อยู่ใน $A$ ด้วย) ซึ่งจุดนี้ห่างจากจุด $(8,21)$ เป็นระยะ $\sqrt{389}$ น้อยกว่า $\sqrt{466}$ เห็นๆ ถามว่า 389 น้อยสุดหรือยัง ถ้ายังต้องหาให้ได้ว่าจุดไหนบนวงรีที่ทำให้เกิดระยะน้อยสุด ลองหาสมการวงรีออกมาให้ได้ก่อนครับ อาจจะทำได้อะไรต่อได้ หลังจากนั้นมันก็เรื่องของแต่ละคนแล้วละ ว่าจะใช้เครื่องมืออะไรมาหาค่าน้อยสุด อาจจะเป็นเรขาคณิตวิเคราะห์ ม.ปลาย แคลคูลัส ม.ปลาย หรือ Lagrange Multiplier ก็แล้วแต่เลยครับ |
#7
|
||||
|
||||
ยังนึกไม่ออกครับ เดี๋ยวลองไปหาที่มีคนเฉลยก่อนครับ เก็บไว้จนหาไม่เจอเลยครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#8
|
||||
|
||||
เจอแล้วครับเฉลย ใช้แคลคูลัสด้วย
ตอบ $\frac{\sqrt{34} }{5} $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#9
|
|||
|
|||
ในเฉลยมันมีประเด็นที่ผมอยากจะให้คนที่ตั้งใจคิดข้อนี้
คิดออกได้ด้วยตัวเองน่ะครับ ว่าเงื่อนไขอะไรที่ทำให้เกิดระยะน้อยสุด เพราะโจทย์มันเป็นโจทย์เรขาคณิตมากกว่าที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน จริงๆมันสามารถพิสูจน์ได้ด้วยนะครับ ว่าจุดที่ทำให้เกิดมุมฉากบนเส้นสัมผัสจะทำให้เกิดค่าน้อยสุด |
|
|