|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ดูโจทย์ให้หน่อยค่ะ
1.ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง $a^6 -3a^2b^4 = 3$ และ $b^6 -3a^4b^2 = 3\sqrt{2}$ แล้ว $a^4 + b^4 $ มีค่าเท่าใด
ข้อนี้หนูลองสมการมาบวกลบกันแล้วอ่ะคะ ได้สุดที่ $\frac{(a^4 -b^4)(a^2 +b^2) }{(a^2 +b^2)^2} = \frac{3 - 3\sqrt{2}}{3 + 3\sqrt{2}} $ หนูแก้ต่อไม่ได้แล้วอ่ะคะ 2.ให้ $u,v,w$ เป็นรากของ $x^3 - 5x^2 + 4x - 3 = 0$ จงหาสมการพหุนามที่มี $u^3,v^3,w^3$ เป็นราก ข้อนี้หนูไม่ได้ตั้งแต่หารากของสมการกำลัง 3 แล้วคะ 3.จงหาวิธีเลือกจำนวน 3 จำนวนที่ต่างกันจากเซต $\left\{\,\right. 1,2,3,...,3n\left.\,\right\} $ โดยผลบวกของ 3 จำนวนนั้นต้องหาร 3 ลงตัว ข้อนี้แค่เห็นก็งงแล้วคะ ถ้าแทนค่า $n$ ด้วยจำนวนมากๆลงไปมันมีวิธีได้ไม่จำกัดเลยไม่ใช่หรอคะ งงค่ะ 4.จงหาจำนวนจริงบวก $a,b,c$ ที่ทำให้ $abc$ มีค่าสูงสุด เมื่อให้ $b(a^2 + 2) + c(a+2) = 12$ >>> ทำไม่ได้ค่ะ คิดไม่ออกว่าจะทำวิธีไหนเลย รบกวนผู้รู้ช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยนะคะ ขอบคุณมากค่ะ |
#2
|
||||
|
||||
TMO 1st หรือปล่าวครับคุ้นๆ
1.ยกกำลังสองแล้วบวกกันครับ 2.ใช้ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ครับ แต่ถ้ารู้เอกลักษณ์ตัวนี้น่าจะง่ายขึ้น $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$ ข้อ 3. ตัวเลข 3 จำนวนบวกกันหาร 3 ลงตัวแบ่งได้เป็น 1.เศษ 1 เหมือนกันหมด 3 ตัว 2.เศษ 2 เหมือนกันหมด 3 ตัว 3.เศษ 3 เหมือนกันหมด 3 ตัว 4.เศษบวกกันแล้วหารด้วย 3 ลงตัว แบ่งได้เป็น 1+2+3 เท่านั้น ข้อ4. $a^2b+b+b+ac+c+c \ge 6\sqrt[6]{(abc)^3}$
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 05 เมษายน 2015 20:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณสำหรับคำใบ้และคำตอบนะคะ คุณ FranceZii Siriseth แล้วก็นี่เป็นข้อสอบ TMO 1st คะ ทำโจทย์แบบนี้บ่อยๆหรอคะ
|
#4
|
||||
|
||||
พอดีผมเข้าค่ายสอวน.ครับ เลยต้องทำ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$Assuming$ ว่าที่ทำมาถูกนะคะ RHS <0 เพราะ $3<3 \sqrt{2}$ นั่นคือ $LHS <0$ แล้วจะได้ $a^4-b^4<0$ ดังนั้น เพราะว่า $2b^4 \geq 0 >a^4-b^4$ จะได้ $a^4-3b^4<0$ พิจารณาสมการแรก จาก $a^6-3a^2b^4=3$ $a^2(a^4-3b^4)=3$ แต่ $a^2 \geq 0$ ทำให้ $a^2(a^4-3b^4) \leq 0$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริง $a,b$ ที่สอดคล้อง อ้างอิง:
อยากเสริมว่า อาจจะต้องระวัง ในเรื่อง เงื่อนไขนิดนึง ถ้าไม่บอกว่า $a,b$ เป็นจำนวนจริงนี่ ก็ผ่านฉลุยไปละ แต่ถ้าบอก อาจจะต้องเช็คว่ามีอยู่จริงรึเปล่าด้วยค่ะ บางทีโจทย์ที่ seemingly easy อาจวางหลุมพลางไว้ค่ะ สวัสดีค่ะ 06 เมษายน 2015 02:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Scylla_Shadow |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$(b^6 -3a^4b^2)^2 = 18----(2)$$ $$(1)+(2);(a^{12}-6a^8b^4+9a^4b^8)+(b^{12}-6a^4b^8+9a^8b^4)=27$$ $$a^{12}+3a^8b^4+3a^4b^8+b^{12}=27$$ $$(a^4+b^4)^3=27$$ $$a^4+b^4=3$$ ถ้าไม่ได้บอกว่า $a,b$ เป็นจำนวนจริงก็คงทำแบบนี้ ขอบคุณคุณ Scylla_Shadow ที่ให้การพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการดังกล่าว
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM 06 เมษายน 2015 11:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ poper |
#7
|
||||
|
||||
ข้อนี้ง่ายที่สุดแล้ว
|
#8
|
|||
|
|||
ข้อ 2 ไม่จำเป็นที่จะต้องหารากครับ ถ้าเราให้ $P(x)=x^3 - 5x^2 + 4x - 3$ เราจะพบว่าสมการ $P(\sqrt[3]{x})=0$ มีรากเป็น $u^3, v^3, w^3$ ดังนั้นสมการที่โจทย์ต้องการสมมูลกับ
$$x - 5x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} - 3=0$$ ย้ายข้างนิดหน่อย $$x - 3=5x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{3}}$$ ยกกำลังสามทั้งสองข้าง รากจะได้หมดๆ ไป $$(x - 3)^3=125x^2 -64x -60x(5x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{3}})$$ เนื่องจาก $\displaystyle{5x^{\frac{2}{3}} - 4x^{\frac{1}{3}}=x-3}$ เรานำไปแทนจะได้ $$(x - 3)^3=125x^2 -64x -60x(x-3)$$ กระจายออกมา $$x^3−9x^2+27x−27=65x^2+116x$$ ย้ายข้าง แล้วก็จบครับ $$x^3-74x^2-89x−27=0$$ |
|
|