ปัญหาเกี่ยวกับ det ครับ

[shinn]

ตอนนี้ผมกำลัง ศึกษาเกี่ยวกับเมตริกครับ เลยไป สดุดอยู่จุดหนึ่งครับ ไม่ทราบว่าเค้ามี ทฤษฏีหรือยัง ที่บอกว่า
ถ้าสมมติ เมตริก A คือขนาด n x n หา det(A) = lAl
เมตริก B เกิดจากเมตริก A ซึ่งก็ยังคงมีขนาด n x n โดยถ้าสมาชิกในตำแหน่งที่ a11และ a22และ a33 และ...และ ann บวกเพิ่มด้วย l นั่นคือเมตริก B ในตำแหน่งที่ b11=a11+l และb22=a22+l และ...และbnn = ann+l แต่ตำแหน่งอื่นๆๆ ยังคงเดิม เช่น b12 = a12 และ b56 = a56 ทำนองนี้ครับ
แล้ว det (B) จะสัมพันธ์กับ det(A) อย่างไร ครับ ????

[nooonuii]

เอ...ยังไม่เคยเห็นทฤษฎีทำนองนี้เลยครับ เท่าที่ผมทราบบอกได้แค่ว่า

$det(B)=0$ ถ้า $ - \lambda$ เป็น eigenvalue ของ $A$
$det(B)\neq 0$ ถ้า $ - \lambda$ ไม่เป็น eigenvalue ของ $A$

ซึ่งก็ไม่ใช่สูตรครับ เป็นนิยามของ eigenvalue เสียมากกว่า

[shinn]

พี่ว่ามันจะยากไปไหมครับ...ตอนนี้ผมกำลังจะทำปัญหาพิเศษ เพื่อส่งท้ายปี 4ครับ คิดไม่ออกว่าจะเอาอะไรดี เลยลองคิดเล่นๆๆ แต่รู้สึกว่ามันจะไม่เล่นเลยครับ
พอผมลองทำ 2x2 กับ 3x3 ก็รู้เลยครับว่า ยุ่งแน่ๆๆ

[shinn]

ที่จริงเริ่มคิดมาจาก eigenvalue ว่า ถ้าเราทำการเปลี่ยนแปลงเมตริก A แล้ว eigenvalue ยังจะเท่าเดิมไหม เลยลองเปลี่ยนตำแหน่งสมาชิก เช่น 3x3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
เปลี่ยนเป็น
a22 a23 a31
a32 a33 a21
a13 a12 a11
แล้วก็หาเงื่อนไขเพิ่มเติม ว่า ถ้าจะทำให้eigenvalue เท่าเดิม เช่น symmetric และ orthogonal เพียงพอหรือไม่
พอทำ 3x3 ก็ดันเท่ากันครับ เลยอยากขยายไปยัง n xn ครับ ถ้าผมเสนอเรื่องนี้ จะน่าสนใจไหมครับพี่ กลัวอาจารย์ว่า มันง่ายไป
...ขอความคิดเห็นครับบบบบบ...

[kanakon]

ผมลอง proof คร่าวๆ ใน matrix 2x2 และ 3x3 แล้วนะครับได้ออกมาในรูปทั่วไปดังนี้


$det(B)$ = $det(A)$ +$r^n$+$(a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{nn})$ $r^{n-1}$+[$(a_{11} a_{22}+a_{11} a_{33}+...+a_{11} a_{nn})$+
$(a_{22} a_{33}+a_{22} a_{44}+...+a_{22} a_{nn})$+$(a_{33} a_{44}+a_{33} a_{55}+...+a_{33} a_{nn})$+...+$(a_{(n-1)(n-1)}a_{nn})$]$r^{n-2}$ -
[($(a_{12}a_{21})$+$(a_{13}a_{31})$+...+$(a_{1n}a_{n1})$)+($(a_{23}a_{32})$+$(a_{24}a_{42})$+...+$(a_{2n}a_{n2})$) + ($(a_{34}a_{43})$+$(a_{35}a_{53})$+...+$(a_{3n}a_{n3})$)+...+($(a_{(n-1)n}a_{n(n-1)})$]$r^{n-2}$+...

ผมยังไม่ชัวร์ ในดีกรี n-3,n-4....2,1(จะพยายามต่อ)
หากท่านผู้ใดพบกรุณาโพสท์บอกด้วย
และรบกวนท่านผู้รู้ตรวจสอบด้วยนะคับ

[expol]

น่าจะจัดรูปได้ไหมครับ ที่จริงผมก็คือ นาย shinn นี่แหล่ะครับ แต่พอดีไปทำnumber เด๋วช่วยคิด เป็นเรื่องที่สนใจ เพราะ eigenvalue มีการนำไปประยุกต์ใช้ค่อนข้างเยอะ