|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Let $G$ be a group, $a \in G$ , $H$ is subgroup of $<a>$ and $<a>$ $\triangleright$ $G$. Prove that $H$ $\triangleright$ $G$.
where $<a>$ is cyclic group which is generated by $a$. ขอแนวคิดหน่อยนะครับ คิดเท่าไหร่ไม่ออกสักที
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ 02 กรกฎาคม 2007 22:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#2
|
|||
|
|||
Since $H$ is a subgroup of $<a>$, $H=<a^k>$ for some $k$. The following identity may help
$$ga^ng^{-1}=(gag^{-1})^n.$$ Interesting Problem : Is the following statement true? If $K$ is a normal subgroup of $H$ and $H$ is a normal subgroup of $G$ then $K$ is a normal subgroup of $G$.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับที่ชี้แนะแนวทาง ส่วน Interesting Problem ผมคิดว่าน่าจะผิดนะครับ
แต่ตอนนี้ยังยกตัวอย่างไม่ได้ ขอเวลาคิดหน่อยนะครับจะพยายามหามาให้ได้
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#4
|
||||
|
||||
รบกวนอีกข้อนะครับ
If $G/C(G)$ is cyclic group then G is abelian group. where $G/C(G)$ is $G ~mod ~C(G)$ and $C(G)=\{x\in G | xy=yx ~for~ all ~y\in G\}$ เท่าที่ผมคิดได้คือ Since $G/C(G)$ is cyclic group then $G/C(G)$ is abelian i.e. for all $x,y \in G.$ $\begin{eqnarray} xC(G)yC(G)&=&yC(G)xC(G)\\ \Longrightarrow xyC(G)C(G)&=&yxC(G)C(G) \end{eqnarray}$ พอจะมีโอกาสทำให้ xy=yx ได้หรือเปล่าครับ หรือว่าผมทำผิดประการใดช่วยชี้แนะด้วยนะครับ
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#5
|
|||
|
|||
Since $G/C(G)$ is cyclic, $G/C(G)=<aC(G)>$ for some $a\in G$. Let $x,y\in G$. Then $$x=a^kb,y=a^lc$$
for some $k,l\in\mathbb{Z}$ and $b,c\in C(G)$. Show that $xy=yx$.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
|||
|
|||
Interesting Problem : Is the following statement true ?
If $G/C(G)$ is abelian, then $G$ is abelian.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
||||
|
||||
ก่อนอื่นต้องขอบคุณ คุณ nooonuii อย่างมากเลยนะครับที่ช่วยชี้แนะแนวทางให้ พอแนะให้แล้วก็ทำได้เลย
แต่ก่อนหน้านั้นคิดอะไรก็ไม่ออกสักที เนี๊ยแหละครับข้อเสียของผม อาจจะเป็นเพราะว่า ประสบการณ์ในการพิสูจน์มีน้อยครับ ถึงยังไงก็จะพยายามต่อไปครับ อ้างอิง:
แต่ผมพยามเท่าไหร่ก็คิดไม่ออกสักที จึงขอเดาว่า ข้อความนี้ไม่จริงครับ (เป็นการติ๊ต่างเกินไปหรือเปล่านะ) Since $G/C(G)$ is cyclic group then $G/C(G)$ is abelian i.e. for all $x,y \in G.$ $\begin{eqnarray} xC(G)yC(G)&=&yC(G)xC(G)\\ \Longrightarrow xyC(G)C(G)&=&yxC(G)C(G) \end{eqnarray}$ ทำให้ xy=yx ไม่ได้สักที
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#8
|
|||
|
|||
ลองฝึกคิดให้เป็นระบบครับ
เทคนิคการทำโจทย์พิสูจน์ส่วนใหญ่จะเริ่มจาก สิ่งที่เราต้องการพิสูจน์แล้วแปลงกลับไปยังจุดเริ่มต้น ที่เราจะพิสูจน์เราต้องหาให้ได้ว่าเราจะเอาเงื่อนไขที่ โจทย์กำหนดให้มาใช้ยังไง อันนี้สำคัญเพราะจะเป็น ตัวช่วยเช็คด้วยว่าเราคิดถูกรึเปล่า ถ้าโจทย์มีความรัดกุมพอ เงื่อนไขที่โจทย์ให้มาจะต้องถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ที่ใดที่หนึ่งครับ อย่างข้อนี้โจทย์ให้มาว่า $G/C(G)$ cyclic เราก็ต้อง นำคุณสมบัติของ cyclic group มาใช้ครับ เราอาจจะคิดต่อว่าเอ๊ะ เราใช้แค่การที่มันเป็น abelian group ไม่ได้เหรอ แต่ก็ควรเอะใจซักนิดนึงว่าถ้าโจทย์ใช้แค่คุณสมบัติของ abelian group ทำไมเขาต้องให้เงื่อนไขของ cyclic group มาซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ดีกว่า abelian group แสดงว่าเราต้องใช้คุณสมบัติของ cyclic group สิถึงจะพิสูจน์ความจริงนี้ได้ และถ้าอย่างนั้นการที่เราสมมติว่า $G/C(G)$ เป็นแค่ abelian group ก็ไม่น่าจะพอพิสูจน์โจทย์ข้อนี้ จึงควรหาตัวอย่างมาค้านข้อความนี้แทนที่จะพิสูจน์ (ตัวอย่างที่ว่าสามารถค้าน Interesting Problem ทั้งสองข้อครับ ใบ้ให้ว่าเป็น Group ที่มีสมาชิกแปดตัว) สิ่งที่ผมทำอยู่บ่อยๆในการเขียนพิสูจน์คือ 1. เขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการพิสูจน์ แปลความหมายไปสู่สิ่งที่เราเข้าใจได้ง่าย 2. เขียนสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้พร้อมกับตรวจสอบว่าเราได้ใช้สิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้ครบถ้วนรึยัง 3. พยายามหาทฤษฎีบทที่เราเคยเรียนมาแล้วว่าจะสามารถช่วยในการพิสูจน์ได้หรือไม่่่่่ (ส่วนใหญ่โจทย์จะเน้นให้เราใช้ความรู้ไม่เกินขอบเขตเนื้อหาที่เราเรียนมาแล้ว)
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii อ่านแล้วทำให้รู้สึกว่า อยากจะตั้งใจเรียนมากขึ้นกว่านี้
และผมจะพยายามฝึกคิดอย่างเป็นระบบอย่างที่คุณ nooonuii บอก เผื่อว่าสักวันจะได้พิสูจน์เก่งอย่างคุณ nooonuii บ้าง
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#10
|
|||
|
|||
จริงๆแล้วที่ผมบอกว่าเราต้องนำเงื่อนไขโจทย์มาใช้ให้ครบก็ไม่ถูกซะทีเดียวครับ เพราะมีโจทย์บางข้อที่เราอาจจะพิสูจน์โดยใช้เงื่อนไขที่อ่อนกว่านั้น ถ้าเราพิสูจน์ไปพิสูจน์มาแล้วพบว่าเราไม่ได้ใช้เงื่อนไขโจทย์ให้ตั้งข้อสังเกตไว้สองอย่างคือ
1. เราเก่งกว่าเจ้าของโจทย์ และ 2. เราคิดผิดครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
Isomorphic
ขออนุญาตใช้กระทู้นี้ถามคำถามที่เกี่ยวกับ Isomorphic ต่อนะครับ
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $k\in \mathbb{N} \cup \{0\}$ นิยาม $\mathbb{Z}_{p^{k}}=\{\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z}~ |~a\in \mathbb{Z} \}$ และ $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}=\{\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z} ~|~a\in \mathbb{Z} ~and~ k\in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$ เราพบว่า $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}=<\{\frac{1}{p^{k}}+\mathbb{Z}\}>$ จงแสดงว่า ถ้า $H<\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ และ $H\not= \mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ แล้ว $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}/H \cong \mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ เท่าที่พยายามหา Hint มาพบว่า นิยามการส่ง $$(\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z}) \mapsto p^{k_{0}}(\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z})+H$$ เมื่อ $H=\mathbb{Z}_{p^{k_{0}}}$ สำหรับบาง $k_{0}\in \mathbb{N} \cup \{0\}$ แต่ผมทำแล้วไม่เข้าใจตรงที่ว่า ทำให้ เป็น function 1-1 & onto เพราะผมไม่รู้จะตัด $H$ ออกไปยังไงเพราะ $H$ เป็นเซต ก็เลยอยากถามว่า นิยามการส่งแบบนั้นใช้ได้จริงรึเปล่า ถ้าใช้ได้จริงต้องพิสูจน์ยังไงครับ แค่ Hint ให้ผมก็ได้ครับ เพราะคำถามผมยาวมาก ส่วน Interesting Problem ของพี่ nooonuii ผมกำลังพยายามหาอยู่น่ะครับ ผมสัญญาว่าจะต้องหาคำตอบมาให้ได้ครับ
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#12
|
|||
|
|||
เทคนิคที่ใช้อยู่บ่อยๆในการพิสูจน์ isomorphism ของ group ที่เป็น quotient group ก็คือการใช้ First Isomorphism Theorem ครับ ซึ่งกล่าวว่า
ถ้า $f:G\to H$ เป็น epimorphism(onto homomorphism) เราจะได้ว่า $$G/Ker(f) \cong H$$ ดังนั้นจะพิสูจน์โจทย์ข้อนี้ก็นิยามฟังก์ชัน $$f:\mathbb{Z}_{p^{\infty}}\to\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$$ ซึ่งทำให้ 1. $f$ เป็น onto homomorphism 2. $Ker(f)=H$ ซึ่งผมคิดว่าการนิยาม $f$ แบบนี้ทำได้ง่ายกว่ามากครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ขึ้นมาเองใช่ไหมครับ และ $Ker(f)=H$ ได้อย่างไรครับ และจาก First Isomorphism Theorem จะได้ $G/Ker(f) \cong Im(f)$ ไม่ใช่หรือครับ หรือว่าเพิ่มเงื่อนไขที่ f เป็น epimorphism
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#14
|
|||
|
|||
จะใช้ First Isomorphism Theorem
เราต้องสร้างให้ $f$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึงครับ เราจึงได้ $Im(f)=\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ และเราต้องสร้าง $f$ ให้ $Ker(f)=H$ ด้วยครับ ฟังก์ชัน $f$ น่าจะมาจากคุณสมบัติของ $H$ ครับ หน้าตาไม่น่าประหลาดมาก
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#15
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii ที่ช่วยแนะนำ คือ ผม define ฟังก์ชันเป็น
$$f(\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z} )=p^{k_{0}}(\frac{a}{p^{k}}+\mathbb{Z})$$ เมื่อ $H=\mathbb{Z}_{p^{k_{0}}}$ สำหรับบาง $k_{0}\in \mathbb{N} \cup \{0\}$ แบบนี้ใช้ได้รึเปล่าครับ ที่เรียน First Isomorpism Theorem ไป ไม่เคยคิดเลยนะครับเนี่ยว่าจะได้ใช้ประโยชน์ ดีใจมากเลยครับอย่างน้อยที่เรียนไปก็ได้ใช้ประโยชน์กับมันบ้าง
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Abstract algebra (subgroup) | mercedesbenz | พีชคณิต | 3 | 15 มิถุนายน 2007 21:10 |
|
|