ช่วยหน่อยครับ

[mercedesbenz]

อ่านแล้วแกะไม่ออกครับสงสัยพจน์ที่สอง ของบรรทัดรองสุดท้ายครับว่า
ทำอย่างไรให้ได้พจน์ที่สองของบรรทัดสุดท้าย


สงสัยอีกอย่างครับ เราสามารถ take เครื่องหมายอินทิเกรตเข้าไปใน sum ที่ sum ถึง $\infty$ ได้เมื่อไหร่ครับ
ผมเคยเข้าใจว่า sum นั้นต้องลู่เข้าก่อนถูกไหมครับ หรือต้องมีเงื่อนไขอื่นอีก
ตัวอย่างนะครับ

$$\int_{0}^{x}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{2k}dt=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{x}(-1)^{k}t^{2k}dt$$ เมื่อ $ t\in [-1,1]$ ทำได้หรือเปล่าครับ

[M@gpie]

การสลับลำดับของการบวกและการอินทิเกรต นั้น จะทำได้เมื่อผลบวกนั้นลู่เข้าแบบเอกรูป (uniform convergence) ครับ ถึงจะสลับได้ จากตัวอย่างที่ยกมานั้นทำได้ครับ แต่ส่วนใหญ่เขาจะถือว่าสลับได้ไปเลย เพราะถ้าอธิบายจะเรื่องยาวกันเลยทีเดียว

[nooonuii]

บรรทัดสุดท้ายมาจากการกระจายอนุกรมของ $\dfrac{1}{1+t^2}$ ครับ

$$\frac{1}{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^{2n}$$

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากๆเลยครับ คุณ ma@gie และ พี่ nooonuii

[mercedesbenz]

มีอีกคำถามหนึ่งครับ ช่วยแนะแนวทางการพิสูจน์
$${2p-1 \choose p }\equiv 1(mod ~p)$$ เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ
ผมพยายามพิสูจน์ว่า $p|{2p-1 \choose p }-1$ แต่ไม่ค่อยแน่ในว่าจะถูกอ่ะครับ

[mercedesbenz]

พิสูจน์ได้แล้วครับ

[nooonuii]

เฉลยด้วยก็ดีครับ เพราะผมยังพิสูจน์ไม่ได้

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

มีอีกคำถามหนึ่งครับ ช่วยแนะแนวทางการพิสูจน์
$${2p-1 \choose p }\equiv 1(mod ~p)$$ เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ

พิสูจน์:
เนื่องจาก

\[\begin{array}{cl}
{2p-1 \choose p}
=&\frac{(2p-1)!}{p!(p-1)!}\\
=&\frac{(2p-1)(2p-2)(2p-3)\cdots(p+1)}{(p-1)!}\\
=&\frac{(2p-1)2(p-1)(2p-3)2(p-2)\cdots2(p-\frac{(p-1)}{2})}{(p-1)!}\\
=&\frac{(2p-1)(2p-3)(2p-5)\cdots(2p-(p-2))2^{(p-1)/2}(p-1)(p-2)\cdots(p-\frac{p-1}{2})}{(p-1)!}\\
=&\frac{(2p-1)(2p-3)(2p-5)\cdots(2p-(p-2))2^{(p-1)/2}}{(p-(p+1)/2)\cdots3\cdot2\cdot1}\\
=&\frac{(2p-1)(2p-3)(2p-5)\cdots(2p-(p-2))2^{(p-1)/2}}{\frac{p-1}{2}\cdots 3\cdot 2 \cdot 1}\\
\equiv & \frac{(-1)^{(p-1)/2}1\cdot 3\cdot 5\cdots (p-2)2^{(p-1)/2}}{1\cdot 2\cdot 3\cdots\frac{p-1}{2})}\\
\equiv & \frac{(-1)^{(p-1)/2}(-1)^{(p-1)/2}1\cdot2\cdot 3\cdots(\frac{p-1}{2})2^{(p-1)/2}2^{(p-1)/2}}{1\cdot 2\cdot 3\cdots\frac{p-1}{2})}\\
\equiv &2^{p-1}(mod ~p)\\
\equiv &1(mod~ p)

\end{array}\]
ยังทำไม่ค่อยละเอียดเท่าไหร่แต่แนวๆเนี่ยแหละครับ