|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ข้อสอบวิชา พีชคณิต 20 ตุลา 49
1. จงหาค่าของ $\frac{1}{1^4+1^2+1}+\frac{1}{2^4+2^2+1}+\frac{1}{3^4+3^2+1}+...+\frac{1}{100^4+100^2+1}$
2. จงหาจำนวนจริง $x,y$ ที่ทำให้ $x^2+y=x+y^2=12$ 3. จงพิสูจน์เอกลักษณ์ $x^2y^2z^2-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx-1=(xy-1)(yz-1)(zx-1)$ 4. จงแสดงว่าพหุนาม $p(x)=(x^2n-2x^2n-1+3x^2n-2-...-2nx)+2n+1$ มากกว่าศูนย์ สำหรับทุก ๆ จำนวนจริง $x$ 5. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงและให้ $m(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ เมื่อ $x\not= \frac{-d}{c}$ ถ้า $x$ เป็นรากของสมการ $x=m(m(x))$ และ $x$ ไม่เป็นรากของสมการ $x=m(x)$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a+d=0$ ลอง ๆ พิมพ์ดูไม่รู้จะถูกหรือเปล่า ช่วยตรวจสอบด้วยนะครับ |
#2
|
||||
|
||||
ถูกแล้วครับ เดี๋ยวผมเอาข้อ 5 มาลงให้ ส่วนข้อ1 ใครก็ได้เฉลยทีงับ ผมจะลองเช็คดู
|
#3
|
||||
|
||||
ข้อแรก ไปดูแนวคิดได้ที่คำตอบนี้ของคุณ Passer-by ครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#4
|
||||
|
||||
เเย่เเล้วผมทำข้อ 5 ไม่ได้ครับ ขอเเนวคิดหน่อยครับ
|
#5
|
|||
|
|||
ข้อ 5 ลองแทนค่าแล้วจัดรูปเป็นพหุนามกำลังสองโดยใช้เงื่อนไขที่โจทย์ให้มา จะพบว่าได้คำตอบทันทีครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 2 ผมคิดได้
$$(x,y)=(3,3),(-4,-4),(\frac{1+\sqrt{45} }{2},\frac{1-\sqrt{45} }{2}),(\frac{1-\sqrt{45} }{2},\frac{1+\sqrt{45} }{2})$$
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
#7
|
||||
|
||||
ผมขอถามข้อสามว่า:
เราพิสูจน์จากพจน์ทางซ้ายไปสู่พจน์ทางขวาได้อย่างเดียวหรือเปล่าคับ หรือจากพจน์ทางไหนก็ได้
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
#8
|
|||
|
|||
ทำจากข้างไหนก็ได้ทั้งนั้นแหละครับ จริงๆโจทย์ข้อนี้คนคิดโจทย์น่าจะหมายความว่าให้แยกตัวประกอบของตัวหน้ามากกว่าครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\frac{1}{1^4+1^2+1}+\frac{2}{2^4+2^2+1}+\frac{3}{3^4+3^2+1}+...+\frac{100}{100^4+100^2+1}$ แล้วแก้โดย telescoping technic ตามวิธีของคุณ passer-by ที่คุณ nongtum ได้ link ไว้ให้ในความเห็นที่ 3 แล้วครับ |
#10
|
||||
|
||||
ขอเเนวคิดข้อ 3 หน่อยคับ
|
#11
|
|||
|
|||
\[ L.H.S. = x^2 y^2 z^2 - \left( {x + y + z} \right)xyz + xy + yz + zx - 1 \] \[ = x^2 y^2 z^2 - x^2 yz - xy^2 z - xyz^2 + xy + yz + zx - 1 \] \[ = \left( {x^2 y^2 z^2 - xy^2 z} \right) - \left( {x^2 yz - xy} \right) - \left( {xyz^2 - yz} \right) + \left( {zx - 1} \right) \] \[ = xy^2 z\left( {zx - 1} \right) - xy\left( {zx - 1} \right) - yz\left( {zx - 1} \right) + \left( {zx - 1} \right) \] \[ = \left( {zx - 1} \right)\left( {xy^2 z - xy - yz + 1} \right) \] \[ = \left( {zx - 1} \right)\left[ {\left( {xy^2 z - xy} \right) - \left( {yz - 1} \right)} \right] \] \[ = \left( {zx - 1} \right)\left[ {xy\left( {yz - 1} \right) - \left( {yz - 1} \right)} \right] \] \[ = \left( {xy - 1} \right)\left( {yz - 1} \right)\left( {zx - 1} \right) \] \[ = R.H.S. \] |
#12
|
||||
|
||||
ข้อ 3 ผมคิดงี้อะ จาก
(x^2)(y^2)(z^2)-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx−1=(xy−1)(yz−1)(zx−1) ให้ (LHS)=(x^2)(y^2)(z^2)-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx−1 , (RHS)=(xy−1)(yz−1)(zx−1) จะเป็นจริงเมื่อ (LHS) - (RHS) = 0 (LHS) = (x^2)(y^2)(z^2)-(x^2)(y)(z)-(x)(y^2)(z)-(x)(y)(z^2)+xy+yz+zx-1 = (x^2)(y)(z)[yz-1]-xy[yz-1]-xz[yz-1]+[yz-1] = [yz-1][(x^2)(y)(z)-xy-xz+1] = [yz-1]{xy[xz-1]-[xz-1]} = (xy−1)(yz−1)(zx−1) (RHS) = (xy−1)(yz−1)(zx−1) ดังนั้น (LHS) - (RHS) = 0 เพราะฉะนั้น (x^2)(y^2)(z^2)-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx−1=(xy−1)(yz−1)(zx−1) ง่ายแปลกๆไม่รู้ถูกอะป่าว
__________________
สวรรค์ไม่สร้างคนเหนือคน และไม่สร้างคนใต้คน 16 เมษายน 2008 19:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ อัจฉริยะข้ามจักรวาล |
#13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$= \frac{n}{(n^2+n+1)(n^2-n+1)}$ $= \frac{1}{2}(\frac{1}{n^2-n+1}-\frac{1}{n^2+n+1})$ $\therefore \frac{1}{1^4+1^2+1}+\frac{2}{2^4+2^2+1}+...+\frac{100}{100^4+100^2+1}$ $=\frac{1}{2}(\frac{1}{1^2-1+1}-\frac{1}{1^2+1+1})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2^2-2+1}$ $-\frac{1}{2^2+2+1})+.....+\frac{1}{2}(\frac{1}{100^2-100+1}-\frac{1}{100^2+100+1})$ $=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{10101})$ $=\frac{1}{2}\cdot\frac{10100}{10101}$ $=\frac{5050}{10101}$ |
#14
|
|||
|
|||
ไม่รู้ว่าพี่KanakonทำวิธีเดียวกับผมหรือปาวTwT ช่วยดูหน่อยนะว่ายากเกินไปอ่ะป่าวมีวิธีง่ายกว่าไม๊
ให้ $x^2+y=12$-------->1 $x+y^2=12$---------->2 $x^2+y=x+y^2$ $x^2-y^2=x-y$ $(x+y)(x-y)=x-y$ $(x+y)(x-y)-(x-y)=0$ $(x-y)(x+y-1)=0$ ดังนั้น $x=y$ หรือ $x+y=1$ นำ$x=y$แทนในสมการที่1 ได้ $y^2+y=12$ $y^2+y-12=0$ $(y+4)(y-3)=0$ ; $y=-4,3$ จาก$x=y$จะได้เซตของคำตอบว่า $(x,y)=(3,3),(-4,-4)$ คราวนี้ใช้$x+y=1$ ได้$x=1-y$ แทนในสมการที่2 ได้ คำตอบเหมือนสองอันด้านหลังพี่kanakonกั๊ฟTwTเสดแย่ว~ 20 พฤษภาคม 2008 15:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Aรักการเรียนครับป๋ม |
#15
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$x^2-y^2=x-y$ งงตรงนี้ครับ ทำไมกลายมาเปน x-y เฉยๆอะ ช่วยไขทีครับ |
|
|