|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
-*-
โอ้วววววววววว พร้าจ้าววววววววววววว |
#17
|
||||
|
||||
7.เราจะแสดงว่าถ้า $a,b,c>0$แล้ว $$a^4+b^4+c^4\geq a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$$
(i)โดยอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า $$3a^4+b^4=a^4+a^4+a^4+b^4\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{4}}=4a^3b$$ ในทำนองเดียวกันเราก็จะได้ว่า $$3b^4+c^4\geq 4b^3c , 3c^4+a^4\geq 4c^3a$$ เมื่อนำอสมการแต่ละอันมาบวกกันจะได้ว่า $$4(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a^3b+b^3c+c^3a)$$ ซึ่งก็จะได้สิ่งที่ต้องการ #(ii)จากความจริงที่ว่า $x^2+y^2\geq 2xy$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ โดยอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า $$a+b+c=\sum_{cyc}(\sqrt{c}\frac{a}{\sqrt{c}})\leq\frac{1}{2}\sum_{cyc}(c+\frac{a^2}{c})=\frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{2}(\frac{a^ 2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b})$$ ฉะนั้น $$\frac{1}{2}(a+b+c)\leq \frac{1}{2}(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b})$$ นั่นคือ $a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$ # จากทั้งสองกรณีจึงได้ว่า $$a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$$ ตามต้องการ #
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
#18
|
||||
|
||||
10.(IMO 1995)ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$$ หมายเหตุ:สามารถแก้ได้โดยใช้ AM-GM อย่างเดียวได้
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
#19
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แทน $$a=\frac{1}{bc},\sqrt{b}=x,\sqrt{c}=y$$ อสมการสมมูลกับ $2(x^{10}y^{10}+x^5+y^5)\geq 3x^4y^4(x^2+y^2)$ $\therefore$ จาก lemma จะำได้ว่าซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ AM-GM;$2(x^{10}y^{10}+x^5+y^5)\geq (x^{10}y^{10}+2x^4y)+(x^{10}y^{10}+2xy^4)\geq 3x^4y^4(x^2+y^2)$ $$ \sum_{cyc}\frac{1}{a^3(b+c)} \geq \frac{3}{2}$$ 02 พฤศจิกายน 2007 20:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ dektep |
#20
|
|||
|
|||
ข้อ 7 คิดได้อีกแบบครับ simply ดี
$$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge xyz(x+y+z)$$ $x,y,z > 0$ จะแสดงว่า $$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge (xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}\ge xyz(x+y+z)$$ Am-GM $$\Sigma_{cyc}(x^{4}+y^{4})\ge 2\Sigma_{cyc}(xy)^{2} $$ $$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge (xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}$$ Am-GM อีกครั้ง $$\Sigma_{cyc}[(xy)^{2}+(yz)^{2}]\ge 2\Sigma_{cyc}xy^{2}z$$ จะได้ว่า $$(xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}\ge xyz(x+y+z)$$ |
#21
|
||||
|
||||
19 ตุลาคม 2008 13:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ winlose |
#22
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
คูณสี่ ทางด้านซ้าย แล้ว แยกออกเป็น 3 พจน์ ก็ใช้ am-gm แก้ จะออกครับ เดี๋ยววันหลังจะมาแสดงวิธีทำให้ดู วันนี้ hint ก่อน
__________________
"MATH is MYTH" - anonymous |
#23
|
||||
|
||||
Rearrangement Inequality ก็ได้นะครับ
__________________
ผู้ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด คือ ผู้ที่ทำตนให้เล็กที่สุด ผู้ที่เล็กที่สุดก็จะกลายเป็นผู้ที่ใหญ่ที่สุด ผู้ที่มีเกียรติ คือ ผู้ที่ให้เกียรติผู้อื่น |
#24
|
||||
|
||||
มาทำโจทยืของผมมั่ง
ข้อ 11 ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า $${(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)})}^2\geq 2$$ และจงหาวว่าเกิดสมการขึ้นได้เทื่อใด (ต่องบอกมาให้ครบทุกกรณี)
__________________
วะฮ่ะฮ่ะฮ่า
ข้าคืออุลตร้าแมน ทุกโพสเป็นไปเพื่อความสันติสุขของเหล่ามวลมนุษย์ อุลตร้าแมนจงเจริญ |
#25
|
||||
|
||||
ผมอ่าน Am-Gm เองอะครับ
เริ่มเดินก้าวแรกได้ ช่วยตรวจสอบดูหน่อนะครับ จากหลักของ $Am-Gm$ $\frac{1+a^2}{2} \geqslant a$ ในขณะเดียวกัน $\frac{1+b^2}{2} \geqslant b$ $\frac{1+c^2}{2} \geqslant c$ $\therefore (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \geq 8abc$
__________________
Fortune Lady
|
#26
|
||||
|
||||
__________________
Fortune Lady
|
#27
|
||||
|
||||
แล้วข้อ 7 ทำแบบนี้ได้ไหมครับ ใช้ AM-GM เท่านั้นครับ
$x^4+y^4+z^4\geqslant {3xyz\sqrt[3]{xyz}}$ $x^4+y^4+z^4\geqslant{(x+y+z)(xyz)}\geqslant {xyz\sqrt[3]{xyz}}$ จะได้แบบนี้รึเปล่าครับ $x^4+y^4+z^4\geqslant{(x+y+z)(xyz)}$ ชี้แนะด้วยครับ
__________________
ผมจะต้องเป็นครูที่เก่งและที่ดีให้ได้เลยครับ
|
#28
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จาก$x^2+y^2 \geqslant 2xy$ เอา$x^2+y^2 $บวกเข้าทั้งสองข้าง จะได้ $2(x^2+y^2 )\geqslant x^2+y^2 +2xy$ $2(x^2+y^2 )\geqslant (x+y)^2$ จากถ้า$a^2>b^2$แล้ว$a>b $ เมื่อ $a,b>0$ $\sqrt{2} \times \sqrt{x^2+y^2} \geqslant (x+y)$ $\sqrt{2(x^2+y^2)} \geqslant (x+y)$ $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2} } \geqslant \frac{(x+y)}{2} $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#29
|
||||
|
||||
จัดรูปใน LHS แต่ละตัวไปเรื่อยๆ (คิดว่าง่ายครับ ) แล้วก็โคชี่
__________________
เวลาที่เหลืออยู่มีวิธีการใช้สองแบบ คือ ทางที่เรียบง่ายไม่มีอะไร กับอีกทาง ที่ทุกอย่างล้วนมหัศจรรย์ |
#30
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$3+a+b+c \rightarrow (a+1)+(b+1)+(c+1)$ $AM=\dfrac{(a+1)+(b+1)+(c+1)}{3} $ $HM=\dfrac{3}{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1} +\dfrac{1}{c+1} } $ $AM \geqslant HM$ $\dfrac{(a+1)+(b+1)+(c+1)}{3} \geqslant \dfrac{3}{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1} +\dfrac{1}{c+1} } $ จัดการย้ายพจน์จะได้ว่า $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq\dfrac{9}{3+a+b+c}$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 29 เมษายน 2010 14:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
|
|