|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยคิดหน่อยนะครับคิดไม่ออก ^^
1. กำหนดให้ $x^2 = yz+1$, $y^2 = zx+2$ เเละ $z^2 = xy+4$ ค่ามากที่สุดของ x+y+z เป็นเท่าไร
2.จงหาคำตอบของระบบสมการ $x-\sqrt{yz} = 42$ , $y-\sqrt{zx} = 6$ เเละ $z-\sqrt{xy} = -30$ 3. ค่าของ $\frac{1 + \frac{1}{2^4}-\frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}-\frac{1}{6^4}...}{1-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4} -\frac{1}{6^4}+...}$ เป็นเท่าไร 4. กำหนด $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+... = \frac{\pi^2}{6}$ ค่าของ $1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...$ เป็นเท่าไร 5.จงเเยกตัวประกอบของ $a^3+b^3+c^3-3abc$ 6.สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ จากการกระจาย $(x+1)^7(x^2+1)^5(x^4+1)^3(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)(x^{256}+1)(x^{512}+1)(x^{1024}+1)$ เป็นเท่าไร 7.กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงที่เเตกต่างกันทั้งหมดเเละเป็นค่าคงที่จงหาคำตอบของสมการ $\frac{ab(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ca(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} = 0$ 8.กำหนด x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-x^4-y^4-z^4 = 3591$ 9.จงหา n ทั้งหมดที่ทำให้ n+20 เเละ n-20 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ 10.จงหา n ทั้งหมดที่ทำให้ n+9 , 16n+9เเละ 27n+9 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ เเค่นี้ก่อนนะครับเมื่อย ยังไงถ้าคิดได้เเล้วช่วยลงวิธีทำด้วยนะครับ ^^ 08 กุมภาพันธ์ 2008 21:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ titletam |
#2
|
||||
|
||||
นี่คงไม่ใช่โจทย์ ม.ต้นกระมังครับเนี่ย ทำไมโหดพอสมควรเลย
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#3
|
||||
|
||||
ม.ต้นครับ - -
|
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
คำตอบ ข้อ $5$ คือ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$ ข้อ $6$ คือ $4096$ ข้อ $9$ คือ $29$ และ $101$ ข้อ $10$ คือ $0$ และ $280$ ม.ต้น ย่อมาจาก มหาวิทยาลัยตอนต้นหรือป่าวครับ 14 กุมภาพันธ์ 2008 10:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ หยินหยาง เหตุผล: double post |
#5
|
||||
|
||||
ข้อ 7 เเก้ให้เเล้วนะครับเเต่ข้อ 3. นี้ข้อมูลผมมันเขียนมาอย่างนี้นะครับไม่ทราบว่าโจทย์ผิดหรือป่าวนะ พี่ๆช่วยๆกันดูทีครับ
|
#6
|
|||
|
|||
ข้อ 3 โจทย์ไม่ผิดครับ แต่ถ้าจะทำโจทย์ข้อนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์โดยไม่มีคำถามอื่นๆตามมา
ต้องใช้ความรู้ระดับมหาวิทยาลัยครับโดยเฉพาะความจริงที่ว่าทั้งสองอนุกรมในโจทย์ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์จะทำให้เราสามารถโยกย้ายเทอมต่างๆในอนุกรมโดยที่ค่าของผลบวกยังไม่เปลี่ยนแปลง (ถ้าอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การโยกย้ายเทอมต่างๆในอนุกรมจะส่งผลให้เราได้ค่าผลบวก ที่ต่างออกไปจากอนุกรมเดิม) กำหนดให้ $S=1+\dfrac{1}{2^4}-\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}-\dfrac{1}{6^4}+\cdots$ $T=1-\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}-\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}-\dfrac{1}{6^4}+\cdots$ จะได้ว่า $S=(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)-2(\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{6^4}+\dfrac{1}{9^4}+\cdots)$ $=(1-\dfrac{2}{3^4})(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)$ $T=(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)-2(\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{6^4}+\cdots)$ $=(1-\dfrac{2}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\cdots)$ ดังนั้น $\dfrac{S}{T}=\dfrac{79}{81}\cdot\dfrac{8}{7}=\dfrac{632}{567}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
||||
|
||||
11.กำหนด a,b,cเป็นจำนวนจริงซึ่ง a+b+c>0 เเละสอดคล้องกับระบบสมการ $a^2bc+ab^2c+abc^2+8 = a+b+c $ ,$a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+3abc = -4 $,$a^2b^2c + a^2bc^2+ab^2c^2 = 2+ab+bc+ca$ ค่าของ $a^5+b^5+c^5$ เป็นเท่าไร
12. กำหนด x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $ \frac{1}{x}-\frac{1}{xy}-\frac{1}{xyz} = \frac{19}{97}$ ค่าของ $4x +3y +4z $ เป็นเท่าไร เมื่อ $x < y < z$ 13. นำจำนวนเต็มบวกตั้งเเต่ 1 ถึง n ใส่ลงในตารางขนาด n x n โดยไม่ซ้ำกัน ทั้งเเนวตั้ง เเนวนอน เเละเเนวทะเเยง จะได้ทั้งหมดกี่วิธี 14.โยนลูกเต๋าที่เเตกต่างกันทั้งหมด n ลูก จำนวนวิธีที่ผลรวมเเต้มเป็น 5 n เป็นเท่าไร 15. A มีเหรียญ n+1 เหรียญ B มีเหรียญ n เหรียญ ถ้าทั้ง 2 คนโยนเหรียญของตนทั้งหมดพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนเหรียญที่ออกหัวของ A มากกว่าจำนวนเหรียญที่ออกหัวของ B ต่อเลยนะครับใครที่ทำข้อไหนได้เเล้วช่วยลงวิธีคิดให้ด้วยนะครับบบบบ |
#8
|
||||
|
||||
คำตอบของข้อ 11 คือ 1279
ส่วนข้ออื่นๆ เดี๋ยวจะลองคิดดู แต่รู้สึกว่าไม่หมูเลยครับ ยังมีอีกกี่ข้อครับ เป็นข้อสอบของการแข่งขันอะไรครับ |
#9
|
||||
|
||||
มีเรขาอีกนิดหน่อยครับว่างๆจะเอามาลง มันเป็นโจทย์ที่ผมจดมาจากเพื่อนอีกทีเขาบอกว่าไปเรียนพิเศษมาผมเห็นว่ามันยากดีเลยเอามาลงให้พี่ๆช่วยคิดยังไงก็ฝากด้วยนะครับ
|
#11
|
||||
|
||||
ข้อ 5,6,10ขอวิธิทำหน่อยนะคะ ขอบคุณล่วงหน้า
|
#12
|
||||
|
||||
ทยอยเอาแนวคิดเฉพาะข้อที่ได้คิดก่อน หากทดได้เพิ่มจะพยายามพิมพ์ให้ครับ
สมมติ $y=kx,\ z=lx$ สำหรับ $k,l$ บางตัว เนื่องจาก $x \ne 0$ ดังนั้น $$2=\frac{y^2-zx}{x^2-yz}=\frac{k^2-l}{1-kl}=\frac{l^2-k}{1-kl}=\frac{z^2-xy}{x^2-yz}$$ ทำให้ $k^2+k=l^2+l$ โดยที่ $kl\ne1$ ดังนั้น $(k+\frac12)^2=(l+\frac12)^2$ จากเงื่อนไขที่ได้ เราจะแบ่งเป็นสองกรณีดังนี้ กรณีแรก $k=l$ จะพบว่า $$\frac{k^2-k}{1-k^2}=\frac{-k}{1+k}=2,\qquad k\ne\pm1$$ดังนั้น $k=l=-\frac23$ นั่นคือ $x=\pm\frac{3}{\sqrt5},\ y=z=\mp\frac{2}{\sqrt5}$ กรณีหลัง $l+k+1=0$ จะพบว่า $x+y+z=0$ แต่จาก $y^2-x^2=z(x-y)+1$ จะได้ $(x+y+z)(x-y)+1=1\ne0$ ค่าสูงสุดที่ต้องการจึงเท่ากับ $\frac{1}{\sqrt5}$ ให้ $S,T$ แทนผลรวมที่โจทย์กำหนดให้และผลรวมที่ต้องการหาตามลำดับ ดังนั้น $T=S-\frac14S=\frac{\pi^2}{8}$ ลองเริ่มจากแทน $x=-y-z$ เพื่อแสดงว่า $x+y+z$ เป็นตัวประกอบของ $x^3+y^3+z^3-3xyz$ สิครับ จัดรูป แล้วแยกตัวประกอบเทอมทางซ้ายของแต่ละสมการก่อน จะได้ $$\begin{eqnarray} (a+b+c)(abc-1)&=-8&\\ (a+b+c)(ab+bc+ca)&=&2\\ (ab+bc+ca)(abc-1)&=-4&\\ \end{eqnarray}$$ดังนั้น$$(a+b+c)(ab+bc+ca)^2(abc-1)=(a+b+c)(abc-1)$$ กำจัดเทอมซ้ำ และพิจารณาเงื่อนไข $a+b+c>0$ ประกอบ จะพบว่า $ab+bc+ca=-1=abc,\ a+b+c=4$ จาก $\sum a^2=(\sum a)^2-2\sum ab=18,\ \sum a^3=(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)+3abc=73$ $\sum a^2b^2=(\sum ab)^2-2abc\sum a=9$ และ $\sum (a^2b^3+a^3b^2)=4\sum a^2b^2-abc(\sum ab)=35$ ดังนั้น $\sum a^5=\sum a^2\sum a^3-\sum (a^2b^3+a^3b^2)=1279$ พิจารณา $$\frac1{x}-\frac{19}{97}=\frac1{xy}(1+\frac1{z})$$ จะพบว่า $97y-19xy=97(\frac{z+1}{z})$ นั่นคือ $z\vert 97$ เมื่อ $z=1$ จะได้ $97(\frac{y-2}{y})=19x$ เพราะ $y\ne 2$ ดังนั้น $y=1,97$ แต่ทั้งสองค่าจะให้ $x$ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เมื่อ $z=97$ จะได้ $97-\frac{98}{y}=19x\quad\dots(*)$ ดังนั้น $y=1,2,7,14,49,98$ แต่เมื่อทดสอบกับ $(*)$ จะพบว่ามีแต่ $(x,y,z)=(5,49,97)$ ที่สอดคล้อง ดังนั้น $4x+3y+4z=555$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 14 กุมภาพันธ์ 2008 11:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: พิมพ์ตก+ผิด และแก้ข้อ 11 |
#13
|
||||
|
||||
ต้องขอบคุณคุณ nongtum ที่มาช่วยแสดงแนวคิดให้ ผมไม่ค่อยถนัดในการใช้ latex และใช้เวลาค่อนข้างมากในการพิมพ์
ส่วนข้อ 11 ก็คิดคล้ายๆกัน แต่ทำไมผมได้คำตอบไม่ตรงกันอะ แนวคิดผมคือ ผมได้ $a+b+c=4, ab+bc+ca=-1, abc = -1$ ซึ่งจะได้ว่า a,b,c เป็นรากของสมการ $x^3+4x^2-x+1 = 0$ ซึ่งจัดรุปอีกทีจะได้ $x^n+4x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3} = 0$ โดยใช้ viete's formula แทนค่า a,b,c เมื่อ n = 4 และ n = 5 |
#14
|
||||
|
||||
คำตอบตรงกันแหละครับ ผมทดผิดไปนิดหน่อย ตอนทำไม่เคยนึกที่จะใช้สมบัติของรากของสมการตอนคำนวณสักที ทั้งๆที่เคยเห็นหลายครั้ง แก้แล้วครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#15
|
||||
|
||||
ข้อ.6 ผมคิดได้ 4096 ( 3 ชุดแรกมีการยกกำลังด้วยนะครับ)
|
|
|