ช่วยแสดงวิธีหาเรนจ์ข้อนี้ให้ที่ครับ

[Nuddeawjod]

$x^2y+x^2+x-1=0$

ช่วยแสดงวีธีหาเรนจ์ให้ทีนะครับ ขอบคุณมากครับ

[nongtum]

เขียนสมการด้านบนใหม่เป็น $(y+1)x^2+x-1=0$ แล้วแก้หา $x$ ในเทอมของ $y$ โดยใช้สูตรแก้สมการกำลังสอง จะได้ $$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4(y+1)}}{2(y+1)}$$แล้วพิจารณาเรนจ์ตามปกติครับ (ในรากไม่เป็นลบ ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์)

[Lekkoksung]

ขยายความน่ะครับ
ในรากไม่เป็นลบ หมายความว่า
สมการ $1+4(y+1)\geq 0$
$1+4y+4\geq 0$
$4y+5\geq 0$
$y\geq -\frac{5}{4}$
และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ หมายความว่า
$2(y+1)\not= 0$
$2y+2\not= 0$
$y\not= -1$

แล้วนำทั้งสองมาเขียนบนเส้นจำนวนจำได้ว่า
$$y\in [-\frac{5}{4},-1)\cup (-1,\infty )$$

[Nuddeawjod]

ผมพิจารณาตามที่พวกท่านบอกเลยครับแต่ผมสงสัยว่า เรนจ์มันเป็น -1 ได้นิครับ
เพราะว่าเมื่อ $y=-1$ จะได้ $x=1$
ช่วยตอบคำถามผมทีนะครับ
ขอบคุณมากครับ

ช่วยตอบทีคร้าบบบบ ด่วนๆ
ขอบคุณมากๆครับบบ

[nongtum]

ถ้าเป็นแบบนั้นก็รวม -1 เข้าในเรนจ์ได้ครับ
แต่ทำไมถึงเกิดข้อขัดแย้งนี้ได้ ผมคิดว่ามันน่าจะอยู่การที่ต้องตรวจสอบก่อนการหารด้วยอะไรก็ตามที่อาจเป็นศูนย์ได้ก่อนเสมอครับ
แต่อย่าเชื่อผมมากนะ เพราะเรียนมานานก็ชักลืมๆเหมือนกันนะ

ขออภัยถ้าหากทำให้สับสนครับ

[Lekkoksung]

อ๋อ
$y\not =-1$ ถูกแล้วครับ
เพราะว่า ในการที่เราจะใช้สูตร $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
เราต้องแน่ใจว่า $a\not =0$ ครับ
แล้วเมื่อเราแน่ใจแล้วว่า $a\not =0$
ในที่นี้ $a$ ของเราคือ $y+1$ ครับ
เพราะฉนั้นเราจะได้ $y\not =-1$

[Nuddeawjod]

ผมลองใช้โปรแกรมกราฟมันต้องผ่านจุด y=-1 จริงๆครับ แต่ว่าทำไมมันถึงขัดแย้งกันเองอ่ะครับผมสงสัยมาก
เพราะผมกลัวว่าถ้าข้อสอบมีข้อแบบนี้อีกแล้วผมจะต้องตอบอย่างไรและแสดงอย่างไรเพราะมันดูดแย้งกันเองอ่ะครับ
ถ้าใครรู้ว่ามันขัดแย้งกันได้อย่างไรหรือต้องใช้วิธีอื่นในการหาเรนจ์ช่วยบอกผมได้นะครับ ขอบคุณครับ
ปล. ขอบคุณท่าน nongtum และ lekkoksung ด้วยนะคับ

(ช่วยทีนะครับ)

[Lekkoksung]

คุณ Nuddeawjod ครับ กราฟของฟังก์ชัน $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ มันผ่านจุดที่ $y=1$ หรือ $y=2$ มั้ยครับ ลองช่อยดูให้หน่อย

จากที่คุณ Nuddeawjod ใช้โปรแกรมวาดกราฟวาดดูนั้น กราฟของ $x^{2}y+x^2+x-1=0$ นั้น มันเป็นรูปยังไงครับ

[TOP]

ไม่มีอะไรขัดแย้งนี่ครับ เพราะการที่เราจะแก้สมการกำลังสองของ $x$ จาก $(y+1)x^2+x-1=0$ ได้ มันมีเงื่อนไขบังคับอยู่แล้วว่า $y \not= -1$

แต่สมการ $(y+1)x^2+x-1=0$ นี้ เราจะแก้หาค่า $x$ ออกมาได้ มันก็ไม่จำเป็นว่าจะต้องเป็นสมการกำลังสองเสมอไป เช่น ถ้า $y = -1$ สมการนี้ก็จะกลายเป็น $x - 1 = 0$ ซึ่งก็สามารถแก้หาค่า $x$ ได้เช่นกัน

[Lekkoksung]

ใช่อย่างที่คุณ TOP ว่าครับ อย่างสมการ $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ เรนจ์ของมันคือ
$$R_f=(-\infty ,-1]\cup [3,\infty)$$
แสดงว่า $R_f\not =(-1,3)$ แต่เราลองแทนค่า $y=0$ ดูก็ได้ครับ จะเห็นว่า สามารถหาค่า $x$ ได้เช่นกันครับ

ผมคิดว่ากราฟที่คุณ Nuddeawjod สมการที่ใส่มันไม่ถูกหรอเปล่าครับ

[nooonuii]

เ้พราะว่าความสัมพันธ์สองอันนี้ต่างกันครับ เลยได้คำตอบไม่เท่ากัน
$f=\{(x,y) : (y+1)x^2-x+1=0\}$

$g=\{(x,y): x^2-\dfrac{x}{y+1}+\dfrac{1}{y+1}=0\}$

เห็นได้ชัดเจนว่ามีสมาชิกใน $f$ ที่ไม่อยู่ใน $g$

คราวนี้ทำอย่างไรถึงจะหา $f$ ได้โดยใช้ึความรู้ที่เรามีอยู่?

ก็ทำเหมือนที่คุณ nongtum ทำครับ แต่ต้องไม่ลืมว่าระหว่างทางเราได้ทิ้งอะไรไปแล้วบ้าง ต้องเรียกกลับมาให้หมดเท่าที่จะทำได้ครับ

$(y+1)x^2-x+1=0$

$x^2-\dfrac{x}{y+1}+\dfrac{1}{y+1}=0$ เมื่อ $y+1\neq 0$

ถ้า $y+1=0$ ล่ะ? ก็ต้องแยกคิดแล้วตั้งไว้ ($y=-1$ เมื่อ $x=1$) เราทิ้งกรณีนี้ไม่ได้เพราะเงื่อนไขของ $f$ ไม่ได้ห้ามไว้

แต่ถ้ามองใน $g$ เงื่อนไขนี้จะถูกตัดทิ้งไปได้เพราะ้เงื่อนไขที่เขียนไว้ในเซต $g$ บอกไว้โดยอัตโนมัติว่าิ $y+1\neq 0$

ลองดูตัวอย่างนี้ครับ คล้ายๆกัน

หาเรนจ์ของความสัมพันธ์

$f=\{(x,y):ye^{|x|}=y^2-y\}$

$g=\{(x,y): e^{|x|}=y-1 \}$

คำตอบเท่ากันหรือไม่?

[Nuddeawjod]

สรุปก็คือคิดแบบใช้สูตรอย่างที่ได้กล่าวมากันแล้วใช่ม่ะครับ แต่ว่าต้องบอกด้วยว่า $y=-1$ ได้เพราะเมื่อลองแทนเข้าไปในสมการแล้วมันหาค่า $x$ ได้ ประมาณนี้ใช่ม่ะครับเวลาแสดงวิธีทำ

ปล. ขอบคุณทุกท่านมากครับ