อสมการติด n ดื้อๆ

[Uranus Hunter]

กำหนด$a,b,c \in \mathbb {R}^+$ และ $n \in \mathbb {N} \geq 2$
จงพิสูน์ว่า $\frac {(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} \leq \sqrt[n] {\frac {2a}{a+b}} +\sqrt[n] {\frac {2b}{b+c}} +\sqrt[n] {\frac {2c}{c+a}} \leq 3$
ผมงงว่า n มาได้ไง ยังไงก็ช่วยกันคิดหน่อยนะครับ

[Ipod]

ลองใช้การอัด $\lambda$ ดูสิครับ

[Uranus Hunter]

แล้วการอัด$\lambda$ มันเป็นยังไงครับ ผมไม่เห็นเคยได้ยินเลย

[Uranus Hunter]

ไม่มีคนทำเลยเหรอครับ???

[Anonymous314]

อีีกข้อนึงครับผมเห็นว่าสวยดีจากเว็บ http://ineqkhoinguyen.wordpress.com/
$a_1 ,a_2 ,...,a_n ,b_1 ,b_2 ,...,b_n ,c_1 ,c_2 ,...,c_n$ เป็นจำนวนจริงบวก,$k \ge t,k \ge 3$

$\sqrt[k]{{a_1 ^t + a_n ^t + ... + a_n ^t }} + \sqrt[k]{{b_1 ^t + b_n ^t + ... + b_n ^t }} + \sqrt[k]{{c_1 ^t + c_n ^t + ... + c_n ^t }}$
$ \ge \sqrt[k]{{(a_1 + b_1 + c_1 )^t + (a_2 + b_2 + c_2 )^t + ... + (a_n + b_n + c_n )^t + (3^k - 3^t )(\sqrt[3]{{(a_1 b_1 c_1 )^t }} + \sqrt[3]{{(a_2 b_2 c_2 )^t }} + ... + \sqrt[3]{{(a_n b_n c_n )^t }})}}$

[dektep]

ผมเห็นที่นี่แต่ยังไม่มีคนทำเลยครับ
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=203615

[poppyน่ารัก]

อ่านแล้วมึนเลย

[The Got_SME]

น่าเสียดายที่ผมอ่านภาษาlatexไม่ออก

[TS_SME]

ผมไม่เข้าใจ

[The Got_SME]

ขอโทษครับดูผิด

[RoSe-JoKer]

ด้านขวานิเราคิดแค่ $n=2$ ได้กรณีเดียวก็จะคิดทุกกรณีได้ครับ (กรณี $n=2$ เป็น 1 ในโจทย์ Warm-up Problem set ของ Vasile)
ลองให้ $\frac{b}{a}=x \frac{c}{b}=y \frac{a}{c}=z$ ดูสิครับแล้วเราก็จะได้ว่าต้อง
Pf อสมการ
$x,y,z>0$ $xyz=1$
$\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{1+x} }\leqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Hint Cauchy
ส่วนข้างซ้ายผมไม่รับรู้ด้วยครับ

[mathematiiez]

มึนค่ะ
ยอมรับว่า*มึน
จะพยายามทำความเข้าใจนะคะ
>,<

[dektep]

$$\sum_{cyclic}\sqrt{\frac{x}{x+y}} \le \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

$$LHS = \frac {\sqrt {x(y + z)(z + x)} + \sqrt {y(z + x)(x + y)} + \sqrt {z(x + y)(y + z)}}{\sqrt {(x + y)(y + z)(z + x)}}$$

$$\le \sqrt {\frac {(x(y + z) + y(z + x) + z(x + y))(x + y + y + z + z + x))}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$$ (โดย Cauchy-Schwarz)

$$= \sqrt {4\cdot\frac {(xy + yz + zx)(x + y + z)}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$$

$$= 2\cdot\sqrt {\frac {(x + y)(y + z)(z + x) + xyz}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$$

$$= 2\cdot\sqrt {1 + \frac {xyz}{(x + y)(y + z)(z + x)}}$$

$$\le 2\cdot\sqrt {1 + \frac {1}{8}}$$ (โดย Am-Gm)

$$= \frac {3\sqrt 2}{2}$$

[Uranus Hunter]

อสมการฝั่งซ้ายก็ยังเป็นปริศนาใช่มั้ยครับ

[dektep]

มีคนบอกว่ามันไม่จริงครับ
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=207094