#1
|
|||
|
|||
ช่วยด้วยค่ะ
1. ถ้า $x=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ให้หาค่าของ $x^{15}-\frac{610}{x}$
2. ถ้า $x=\sqrt{y^2-\frac{1}{49}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{49}}$ $y=\sqrt{z^2-\frac{1}{81}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{81}}$ $z=\sqrt{x^2-\frac{1}{121}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{121}}$ และ $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$ โดย m,n เป็นจำนวนเต็มบวก ให้หาค่าน้อยสุดของ m+n 3. ถ้า $a+b+c>0$ และสอดคล้องกับ $a^2bc+ab^2c+abc^2+8=a+b+c$ , $a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+3abc=-4$ , $a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2=2+ab+bc+ac$ ให้หาค่าของ $a^5+b^5+c^5$ |
#2
|
||||
|
||||
นี่มันโจทย์ สพฐ. ม.ต้น รอบ 2 ที่สอบมาไม่ใช่เหรอครับ ยากมากเลยยังทำไม่ได้เลยครับ
|
#3
|
|||
|
|||
น้องเอามาถาม แล้วคิดไม่ออกคะ
|
#4
|
||||
|
||||
ผมขอเฉลยข้อ 1. ก่อนนะครับ --> จากโจทย์ x = $\sqrt{1-\frac{1}{x}}$+$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ---- (1)
มีเงื่อนไขที่เป็นจริงเมื่อเลขในรูทมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และผลบวกตามสมการ(1) มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ สรุปได้ว่า $x \geqslant 1$ และยังพบว่า $\sqrt{x-\frac{1}{x}} \geqslant \sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ด้วย ดังนั้นเราจึงนำ$\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ไปคูณสมการ(1) จะได้ $x \cdot (\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}})$ = $(x-\frac{1}{x})-(1-\frac{1}{x})$ = x - 1 จัดรูปใหม่จะได้ 1 - $\frac {1}{x}$ = $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ ---- (2) เอาสมการที่ (1) บวกกับ สมการที่ (2) จะได้ x + 1 - $\frac {1}{x} = 2 \cdot \sqrt{x-\frac{1}{x}}$ จัดรูปใหม่ได้เป็น $(x-\frac {1}{x}) - 2 \cdot \sqrt{x-\frac{1}{x}}$ + 1 = 0 หรือ $(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-1)^2$ = 0 ได้ $\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ = 1 --> $(x-\frac{1}{x})$ = 1 --> $x^2$ - x - 1 = 0 แก้สมการได้ค่า x = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ และได้ $x^2$ = $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ --> $x^4$ = $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ --> $x^8$ = $\frac{47+21\sqrt{5}}{2}$ --> $x^{16}$ = $\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}$ โจทย์ต้องการหาค่าของ $x^{15}-\frac{610}{x} หรือ \frac {(x^{16}-610)}{x}$ = $\frac {(\frac{2207+987\sqrt{5}}{2}-610)}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{(987+987\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})}$ = 987 ขอตอบเลยครับ 23 มิถุนายน 2008 01:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Puriwatt เหตุผล: ทำให้ดูง่ายขึ้นครับ |
#5
|
||||
|
||||
ข้อ 3
ให้ $x=1-abc,\ y=a+b+c,\ z=ab+bc+ca$ จะได้สามสมการในโจทย์เป็น $xy=8,\ yz=-4,\ zx=-2$ โดยเงื่อนไข $y>0$ จะได้ $x=2\ \Rightarrow\ abc=-1,\ y=4,\ z=-1$ $\sum a^2=y^2-2z=18$ $\sum a^3=y\sum a^2+3abc+4=73$ $\sum a^5=(\sum a^2)(\sum a^3)-[(\sum a^2b^2)y-abcz]=(\sum a^2)(\sum a^3)-[(z^2-2abcy)y-abcz]=1279$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 22 มิถุนายน 2008 19:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: แก้คำตอบ |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$x=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ถ้าคนเคยผ่านโจทย์ลักษณะนี้จะรู้ทันทีว่ามีรากของคำตอบเหมือนกับ สมการ $x^2-x-1 = 0$ และ สิ่งที่โจทย์ต้องการ $x^{15}-\frac{610}{x} = \frac{x^{16}-610}{x} $ และใช้ความสัมพันธ์ที่ได้จาก $x^2-x-1 = 0$ มาหา $ x^{16}$ ซึ่งจะได้ว่า $ x^{16} = 987x+610$ ต่อจากนั้นก็นำไปแทนค่าก็จะได้คำตอบคือ 987 อ้างอิง:
|
#7
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณ puriwatt ที่ท้วงครับ คิดอะไรแบบนี้ทดเลขผิดได้ง่ายๆเลยนะครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#8
|
|||
|
|||
ใช่แล้วค่ะ ข้อ 2. สมการสุดท้าย ตรง $Z^2$ เป็น $y^2$
รบกวนพี่ๆเพิ่มหน่อยค่ะ ข้อ 1 ที่ว่าคำตอบเหมือนกับ สมการ $x^2-x-1=0$ หมายถึงสามารถจัดรูปให้เหมือนกันได้หรือเปล่าค่ะ หรือเหมือนกันในแง่ไหนค่ะ |
#9
|
||||
|
||||
ข้อสองนิมันแนวเดียวกับโจทย์ AIME เลยนิครับ คนไทยลอกเก่งจริงๆ
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#10
|
|||
|
|||
เข้าใจแล้วค่ะ
กำลังลองพยายามคิดข้อ 2. ด้วยวิธีคล้ายๆข้อ 1. (คอนจูเกต) ยัง งงๆ ตอนจัดรูปนี่แหละค่ะ ถ้ามาผิดทางแนะนำด้วยนะค่ะ มีคำถามเพิ่มเติมอีกข้อค่ะ เห็นบอกว่าเป็นข้อสอบชุดเดียวกัน ให้แก้สมการ $ \frac{(\sqrt{2x^2-2x+12}-\sqrt{x^2-5})^3}{(5x^2-2x-3)\sqrt{2x^2-2x+12}}=\frac{2}{9}$ |
#11
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
สังเกตว่า $5x^2-2x-3=(2x^2-2x+12)+3(x^2-5)$ และเอกลักษณ์ $(A\pm B)^3 = A^3 \pm 3A^2B + 3AB^2 \pm B^3$ ลองดูวิธีนี้นะครับ สมมติให้ $A=\sqrt{2x^2-2x+12}$ และ $B=\sqrt{x^2-5}$ จะได้ว่า \[\begin{array}{rcl} \frac{2}{9}&=&\frac{(A-B)^3}{(A^2+3B^2)A}.....(i)\\ &=&\frac{A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}{A^3+3AB^2}\\ &=&1-\frac{3AB^2+B^3}{A^3+3AB^2}\\ \therefore \frac{3AB^2+B^3}{A^3+3AB^2}&=&\frac{7}{9}\\ 1+\frac{3AB^2+B^3}{A^3+3AB^2}&=&1+\frac{7}{9}\\ \frac{A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}{A^3+3AB^2}&=&\frac{16}{9}\\ \frac{(A+B)^3}{A^3+3AB^2}&=&\frac{16}{9}.....(ii)\\ (i)\div (ii);\frac{(A-B)^3}{(A+B)^3}&=&\frac{1}{8}\\ \frac{A-B}{A+B}&=&\frac{1}{2}\\ 2(A-B)&=&A+B&\\ A&=&3B \end{array}\] จากนั้น ก็แทนค่า $A,B$ ที่กำหนดไว้ตอนแรก แล้วแก้อีกนิดหน่อยก็จะได้คำตอบครับ x=19/7 และ -3 (ถ้าทดเลขไม่ผิดนะครับ ) |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
และ ข้อสอบของเพชรยอดมงกุฎ วิธีการของผมคือ ย้ายข้างแล้วยกกำลังสอง จัดรูปใหม่จะได้ $(x-\frac{1}{x}) = 1$ ซึ่งก็จะมีรากของคำตอบเหมือนกับ สมการ $x^2-x-1=0$ ต่อจากนั้นก็ใช้หลักการเปลี่ยนรูปโดยยังเป็นรากของคำตอบตัวเดียวกันคือ $x^2 = x+1$ ยกกำลังสองจะได้ $x^4 = x^2+2x+1 = 3x+2$ (แทน $x^2 = x+1$) $x^8 = 9x^2+12x+4 = 21x + 13$ $x^{16} = 441x^2+546x+168 = 987x + 610$ ต่อจากนั้นก็ไม่มีอะไรแล้วครับ |
#13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
|
|