|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่วยพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้หน่อยครับ
Prove that for $n\in N$,
$\sqrt{n+3}+\sqrt{n}$ is rational if and only if $n=1$. I arrive at proving that $n^2+3n$ cannot be the square of an integer for $n>1$. That is, there does not exist an interger $k$ such that $$ n^2+3n = k^2 $$ How to prove this? 25 กรกฎาคม 2008 11:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Magic Math |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\dfrac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}$ is also rational. Thus $\sqrt{n+3} = \dfrac{(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})+(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})}{2}$ is rational. Similarly $\sqrt{n}$ is also rational. Let $\sqrt{n+3}=r,\sqrt{n}=s$. Argue that $r,s$ are nonnegative integers. Then we have $(r-s)(r+s)=3$ which implies $r-s = \pm 1,\pm 3$ $r+s=\pm 3,\pm 1$. Then we must have that $2r=4,-4$ which implies $r=2$ and hence $n=1$.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ รวดเร็วจริงๆ วรยุทธิ์ล้ำลึกมากครับ
|
#4
|
|||
|
|||
Why r and s are integers? The square root of a positive integer need not be an integer.
I think that $r-s$ and $r+s$ are nonnegative rationals, NOT necessarily integers. For $a,b \in Q^+$, $a \cdot b =3$ does not always imply $a=3,-3$ or $a=-1,1$. For example, $a=1/2,b=6$. 25 กรกฎาคม 2008 12:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Magic Math |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
Suppose $r=\dfrac{a}{b}$. Then $(n+3)b^2=a^2$ implies $b^2|a^2$. Thus $b|a$ which means $r$ is an integer. The same idea for $s$.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 25 กรกฎาคม 2008 12:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#6
|
|||
|
|||
Thank you very much for your discussion.
|
#7
|
|||
|
|||
เห็นด้วยกับ คุณ Magic Math ที่ปรับปรุงโจทย์
30 กรกฎาคม 2008 09:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kongp |
|
|