ค่ามากที่สุด

[Spotanus]

ต้องขอโทษทีนะครับ ที่ช่วงนี้ไม่ค่อยได้มาโพสโจทย์ให้ทำกัน
อันเนื่องมาจากว่า โรงเรียนผมใกล้สอบ (จริงๆก้ยังสอบไม่เสร็จหรอก)
วันนี้มีโจทย์เกี่ยวกับค่า max มาฝากครับ

สำหรับ $a,b,c>0$ จงแสดงว่า
$$\sqrt{3a^{2}-2ab+3b^{2}}+\sqrt{3b^{2}-2bc+3c^{2}}+\sqrt{3c^{2}-2ca+3a^{2}}\geq \max{\{a,b,c\}}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

สำหรับ $a,b,c>0$ จงแสดงว่า
$$\sqrt{3a^{2}-2ab+3b^{2}}+\sqrt{3b^{2}-2bc+3c^{2}}+\sqrt{3c^{2}-2ca+3a^{2}}\geq \max{\{a,b,c\}}$$

อสมการไม่ sharp ครับ เลยกลายเป็นง่ายไปเลย

ใช้อสมการ $\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y$

ดังนั้น

$LHS =\sqrt{2a^{2}+2b^{2}+(a-b)^2}+\sqrt{2b^{2}+2c^2+(b-c)^2}+\sqrt{2c^{2}+2a^2+(c-a)^2}$

$~~~~~\geq \sqrt{2a^2+2b^2}+\sqrt{2b^2+2c^2}+\sqrt{2c^2+2a^2}$

$~~~~~\geq 2(a+b+c)$

$~~~~~>\max{\{a,b,c\}}$

[God Phoenix]

อย่างนี้ก็ไม่ต้องใช้ max เลยสิครับ???