|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ค่ายคัดเลือกคณิตศาสตร์โอลิมปิกครั้งที่ 1(คอมบินาทอริก)
1. ผู้เข้าประชุมมี n คน แต่ละคนเคยดูหนังกับผู้เข้าประชุมเป็นจำนวน 8 คน นอกจากนั้นสองคนใดๆ ที่เคยดูหนงด้วยกันจะมีคนสี่คนที่เคยดูหนังกับคนสองคนนั้น และสองคนใดๆที่ไม่เคยดูหนังด้วยกันจะมีคนทั้งหมดสองคนที่เคยดูหนังกับคนสองคนนั้น ถ้า $n \not= 21$ จงแสดงว่าไม่มีค่า n ที่เป็นไปได้
2. จงหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ที่แต่ละจุดยอดมาจากจุด 27 จุดที่อยู่บนวงกลมเดียวกัน 3. แต่ละหลักของบิทสตริง S เป็น 0 หรือ 1 และสตริงย่อยของ S คือเลขที่ติดกันในสตริงนั้น (เช่น 010 เป็นสตริงย่อยของ 1001001) เราใช้สัญลักษณ์ $\Delta (S)$ แทนจำนวนของ 1 ใน S ลบด้วยจำนวนของ 0 ใน S (ตัวอย่างเช่น $\Delta (0010010)= - 3$ ) เรา้เรียกบิทสตริงว่า สมดุลย์ ถ้าทุกสตริงย่อย T ใน S สอดคล้องกับอสมการ $-2\leq \Delta (T) \leq 2$ จงหาจำนวนบิทสตริงสมดุลย์ทั้งหมดที่มี n หลัก |
#2
|
|||
|
|||
กรุณาเฉลย
กรุณาเฉลย ค่ายคณิตศาสตร์โอลิมปิก ครั้งที่ 1 (คอมบินาทอริก) ขอขอบคุณ
|
#3
|
||||
|
||||
เท่าที่รู้มามันยากมากนะครับ (ขนาดผู้แทนปีที่แล้วก็ยังไม่มั่นใจเลยครับในบางข้อ)
__________________
ค ว า ม รั บ ผิ ด ช อ บ $$|I-U|\rightarrow \infty $$ |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
รูปทั่วไป ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ $\rightarrow จะมีอย่างมากที่สุด \frac{(n-2)(n)(n+2)}{24}$ ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ $\rightarrow จะมีอย่างมากที่สุด \frac{(n-1)(n)(n+1)}{24}$ ส่วนวิธีพิสูจน์ค่อนข้างยาวครับ แล้วจะเอามาลงวันหลังครับ |
#5
|
||||
|
||||
พี่dektepตกลงทำยังไงครับ
|
#6
|
||||
|
||||
ข้อนี้เป็นโจทย์ Romania TST 1999 ครับ
Reference:mathematics problem around the world 1999-2000 04 มีนาคม 2008 00:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: ขอรวมไฟล์รูปไว้ในความคิดเห็นเดียวกันครับ |
#7
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับพี่
|
#8
|
||||
|
||||
รบกวนท่าน ๆ ขอวิธีทำด้วยครับผม ข้อ 1 กับ 3 อะครับ
|
#9
|
|||
|
|||
ข้อ 3 ลองดูใน
PUTNAM 1996 ส่วนข้อ 1 ใช้ double counting ครับ ถ้าทำมาถูกทาง สุดท้าย จะได้สมการ $ 2(n-9)= (3)(8)$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#10
|
||||
|
||||
ข้อหนึ่งให้ $S((a_i,a_j),a_k) $เป็นจำนวนของเซตที่หมายความว่า $a_k$ ได้ดูหนังกับ $a_i,a_j$ ทั้งคู่
นับทางแรก $S((a_i,a_j),*)$ จากเงื่อนไขเห็นได้ว่าจะมี 4n คู่ที่ดูหนังด้วยกัน ดังนั้นจึงมีคน $\binom{n}{2}-4n$ คู่ที่ไม่ได้ดูหนังด้วยกันดังนั้นจากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดเราจึงได้ว่า $|S|=4(4n)+2(\binom{n}{2}-4n)$ นับทางที่สอง $S(*,a_k)$ สำหรับคนแต่ละคนเรามีวิธีเลือกคู่ให้ดูหนังได้ด้วยกัน $\binom{8}{2}n$ วิธีดังนั้นเราได้ว่า $4(4n)+2(\binom{n}{2}-4n) =\binom{n}{2}n$ นั้นคือ $n(n-21)=0$ แสดงว่ามี $n= 21$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขแต่จากที่โจทย์บอกว่า n!=21 ดังนั้นเราจึงได้ว่าจัดกลุ่มไม่ได้ตามต้องการ
__________________
Rose_joker @Thailand Serendipity |
#11
|
||||
|
||||
คุณ Rose Joker เก่งจังเลยครับ
ยกย่องๆ
__________________
PHOENIX
NEVER DIE |
|
|