divisors

[Soopreecha]

กำหนดให้ d(m) คือ จำนวนตัวหารของบวกของ m โดยที่ $m\in\mathbb{N} $

จงหาจุด limit ของ $\frac{d((n+1)!)}{d(n!)}$

[คุณชายน้อย]

เอ๋... รู้สึกว่าคุ้น ๆ นะ คล้าย ๆ กับเจ้าแกมม่า ที่ผมค้าง Solve ไว้ในกระทู้ก่อน แล้วไม่ Clear ฮิ ๆ ... ต้องหาตัวช่วยเสียแล้ว ...
อาจจะต้องไปดู Phi-Euler Function ก่อนว่ามีอะไรมาช่วยบ้าง ...

[nooonuii]

ตอนนี้ผมยังพิสูจน์ไม่ได้ว่า

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\dfrac{d((n+1)!)}{d(n!)}}$

หาค่าได้

แต่ถ้าสมมุติว่าลิมิตหาค่าได้

จะได้ว่าค่าลิมิตคือ $2$ ครับ

My idea:

ให้ $p_n$ คือจำนวนเฉพาะตัวที่ $n$

เนื่องจาก $(p_n,(p_n-1)!)=1$

เราจะได้ว่า $d(p_n!)=d(p_n)d((p_n-1)!)=2d(p_n-1)!$

ดังนั้น

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\dfrac{d((n+1)!)}{d(n!)}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{d(p_n!)}{d((p_n-1)!)}}=2$

[ecittal]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตอนนี้ผมยังพิสูจน์ไม่ได้ว่า

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\dfrac{d((n+1)!)}{d(n!)}}$

หาค่าได้

แต่ถ้าสมมุติว่าลิมิตหาค่าได้

จะได้ว่าค่าลิมิตคือ $2$ ครับ

ขอถามคุณ nooonuii หน่อยครับ
เราต้องแสดงก่อนด้วยหรือครับว่า ลิมิตหาค่าได้ ถ้าเราเห็นได้ว่ามันหาค่าได้อยู่แล้วล่ะครับ ต้องแสดงเพิ่มอีกไหม
เช่น
$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}}=1$
หรือ เช่นว่าในการพิสูจน์น่ะครับ เราสร้างลำดับลู่เข้าสู่จำนวนซักจำนวนได้
จะสรุปได้เลยไหมว่า ลิมิตมันเป็นค่านั้น (หรือ ต้องแสดงก่อนว่า ลิมิตมีค่า?)
ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ecittal

ขอถามคุณ nooonuii หน่อยครับ
เราต้องแสดงก่อนด้วยหรือครับว่า ลิมิตหาค่าได้ ถ้าเราเห็นได้ว่ามันหาค่าได้อยู่แล้วล่ะครับ ต้องแสดงเพิ่มอีกไหม
เช่น
$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}1+\frac{1}{n}}=1$
หรือ เช่นว่าในการพิสูจน์น่ะครับ เราสร้างลำดับลู่เข้าสู่จำนวนซักจำนวนได้
จะสรุปได้เลยไหมว่า ลิมิตมันเป็นค่านั้น (หรือ ต้องแสดงก่อนว่า ลิมิตมีค่า?)
ขอบคุณครับ

ทำไม่ได้ครับ ปัญหามันจะเกิดกับลำดับแบบนี้ครับ $a_n=(-1)^n$

ถ้าเราเลือกสร้างลำดับย่อย $a_{2n}=1$ มันจะลู่เข้าทันทีเพราะทุกเทอมมีค่าเป็น $1$

แต่ตัวลำดับ $a_n$ ไม่ลู่เข้าเพราะค่ามันแกว่งไปมาระหว่าง $-1,1$

เรามีแต่ทฤษฎีซึ่งกล่าวว่า

ถ้า $a_n$ มีลิมิตแล้ว ทุกลำดับย่อยชอง $a_n$ ก็มีลิมิต และลิมิตจะเท่ากับลิมิตของ $a_n$

การรู้ว่า $a_n$ มีลิมิตจึงเป็นสิ่งจำเป็นในการหาค่าลิมิตครับ

ถ้าเรารู้ว่า $a_n$ มีลิมิตแล้ว เราจะสร้างลำดับย่อยยังไงก็ได้ ค่าลิมิตจะมีค่าเท่ากัน