#1
|
|||
|
|||
ช่วยหน่อยครับ()
จงแสดงว่า
$\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{x+z}} +\frac{1}{\sqrt{z+y}}\geqslant 2$ ถ้า $xy+yz+zx=1$ และ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\dfrac{1}{\sqrt{x+y}}> \dfrac{2\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$ โดย AM-GM $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{z}}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 2\sqrt{z(x+y)}$ อสมการที่สองสมมูลกับ $\sqrt{zx}+\sqrt{zy}\geq zx + zy$ ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก $zx<xy+yz+zx=1$ จึงได้ $zx<\sqrt{zx}$ และ $zy<\sqrt{zy}$ ตามลำดับ อีกสองอันก็ทำแบบเดียวกัน นำทั้งสามอสมการมาบวกกันก็จะได้คำตอบ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|