ถามโจทย์ 2 ข้อค่ะ

[z.Hippie]

1. หาเศษจากการหาร $44444^{4444}$ ด้วย 9

2. จงหาเศษที่เกิดจากการนำ
${(1!+2!+3!+...+100!)^{(0!+1!+2!+...+99!)}}^{(1!+3!+5!+...+97!)}$
หารด้วย 10

ขอวิธีทำแบบม.ต้นนะคะ
ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

[SiR ZigZag NeaRton]

ข้อ1 คร้าบผม (คิดแบบ ม.ต้นไม่ออกอ่ะ)
ขอนำเสนอแบบนี้แล้วกัน
$44444\equiv 2 mod 9$
$44444^{4444}\equiv 2^{4444} mod 9$
$2^{4444} mod 9\equiv (2^3)^{1481} \bullet 2 mod 9$
$(-1)^{1481}\bullet 2 mod 9$
$7 mod 9$
เหลือเศษ 7

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ z.Hippie

1. หาเศษจากการหาร $44444^{4444}$ ด้วย 9

2. จงหาเศษที่เกิดจากการนำ
${(1!+2!+3!+...+100!)^{(0!+1!+2!+...+99!)}}^{(1!+3!+5!+...+97!)}$
หารด้วย 10

ขอวิธีทำแบบม.ต้นนะคะ
ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

วิธีนี้น่าจะดูม.ต้นหน่อยนึง มั้ง

1. เพราะว่า $44444^{4444}=(9k+2)^4444=9(...ก้อน...)+2^{4444}$

=$9(...ก้อน...)+8^{1481}(2)=9(...ก้อน...)+2(9-1)^{1481}$

=$9(...???...)-2(1^{1481})$

= $9(...???...)-2$

= $9(...$$$...)+7$

ตอบเศษ 7 ครับ

[z.Hippie]

วิธีนี้น่าจะดูม.ต้นหน่อยนึง มั้ง

1. เพราะว่า 444444444=(9k+2)4444=9(...ก้อน...)+24444

=9(...ก้อน...)+81481(2)=9(...ก้อน...)+2(9−1)1481

=9(...???...)−2(11481)

= 9(...???...)−2

= $9(...$$$...)+7$

ตอบเศษ 7 ครับ

ช่วยอธิบายตรงนี้หน่อยค่ะ ว่าทำไมกลายเป็น +7

[SiR ZigZag NeaRton]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ z.Hippie

1. หาเศษจากการหาร $44444^{4444}$ ด้วย 9

2. จงหาเศษที่เกิดจากการนำ
${(1!+2!+3!+...+100!)^{(0!+1!+2!+...+99!)}}^{(1!+3!+5!+...+97!)}$
หารด้วย 10

ขอวิธีทำแบบม.ต้นนะคะ
ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

2.คิดอย่างไม่ค่อยมีหลักการ
โดยการหารด้วย 10 เป็นการพิจารณาหลักหน่วย
โดยเลขฐานสนแค่หลักหน่วย และเลขชี้กำลังสน2หลักสุดท้าย
โดยเลขฐานเป็นเลข3 (1!+2!+3!+4!)
เลขชี้กำลัง2หลักสุดท้าย ต่างหาร4ลงตัว (0!+1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+9!)^{(1!+3!+5!+7!+9!)}
เนื่องจาก
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81

ดั้งนั้น จึงเหลือเศษ 1

[Scylla_Shadow]

เพราะว่า 9(...???...)-2 เราเอา 9 ออกมาตัวนึงจาก ...???....

ก็ฌลยได้ 9(...$$$...)+9-2 เมื่อ ...$$$...=...???... -1

[z.Hippie]

เข้าใจแล้วค่ะ
ขอบคุณScylla_Shadow และSiR ZigZag NeaRtonมากค่ัะ

[LightLucifer]

ข้อ 2 ที่ผมคิดคือ
ให้$i,j$ เป็นพหุคูณของ 10 และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก
จากโจทย์จัดรูปได้ว่า
$(10(k)+3)^{{(4i+34}^{(4j+7)}}$
ด้านล่าง พวกว่า เลข$3$ จะยกกำลังวนแบบซ้ำชุดละ $4$ ตัวคือ $3,9,7,1$
ผมจึงสนใจว่า$(4i+34)^{(4j+7)}$หาร 4 เหลือ เศษเท่าไหร่ซึ่ง
เศษจากการหาร $(4i+34)^{(4j+7)}$ด้วย 4 เท่ากับเศษจากการหาร $(34)^{4j+7}=(4(8)+2)^{4j+7}$เท่ากับเศษที่ได้จากการหาร $2^{4j+7}$ด้วย ซึ่งพบว่าหารลงตัวทำให้

$(4i+34)^{(4j+7)}$หาร 4 ลงตัว
ทำให้ $(10(k)+3)^{{(4i+34}^{(4j+7)}}$ ลงท้ายด้วย เลข $1$ อ่ะครับ

ผิดถูกอย่างไรชี้แนะด้วย

[z.Hippie]

เฉลยตอบ 1 ค่ะ

[อยากเก่งเลขครับ]

#8

ที่มาของ (4i+34) และ (4j+7) มันมายังไงหรอครับ

[LightLucifer]

#10
0!+1!+2!+3!+4!=34
5!+6!+...+99! แล้วดึง 4 ออกอ่ะครับมันจะอยู่ในรูป $4(i)$
อีกอันก็คล้ายๆกัน

[อยากเก่งเลขครับ]

แล้วทำไม $2^{4j+7}$ ถึงหารด้วย 4 ลงตัวหรอครับ

[LightLucifer]

#12
$2^{4j+7}=(2^{4i+5})4$

[อยากเก่งเลขครับ]

แล้วทำไม $(2^{4i+5})4$ ถึงหารด้วย4ลงตัวหรอครับ

ผมคิดว่า $2^{4j+7} = 2^{2(2j+3)+1}$
$ = 4^{2j+3}x2$
มันหารด้วย4ไม่เห็นลงเลยอะ- -*

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อยากเก่งเลขครับ

แล้วทำไม $(2^{4i+5})4$ ถึงหารด้วย4ลงตัวหรอครับ

ผมคิดว่า $2^{4j+7} = 2^{4j}x2^7$
$ = 4^{2j}x2^7$
มันหารด้วย4ไม่เห็นลงเลยอะ- -*

จะเห็นว่า $(2^{4i+5})4$ มี 4 เป็นตัวประกอบ

ดังนั้น $(2^{4i+5})4$ หารด้วย 4 ลงตัวครับ