สงสัยมากครับ x^x=4 แสดงวิธีทำอย่างไร

[Paragon]

สวัสดีครับ เพื่อนๆพี่ๆชาว Mathcenter ทุกท่าน ผมมีข้อสงสัยมาถามผู้รู้ทุกท่านครับ

วันนี้ขณะที่ผมกำลังฝึกทำโจทย์คณิต ก็สงสัยขึ้นมาว่า

$x^x=4$ จะแสดงวิธีหาคำตอบอย่างไร โดยที่รู้อยู่ในใจว่า มีคำตอบนึงคิอ 2 แน่นอน
และถ้าหากเจอสมการอื่นๆ เช่น $x^x=5$ ล่ะจะทำอย่างไร

อีกข้อนึงครับ ที่ผมรู้สึกสงสัยเหมือนกัน นั่นก็คิอ
$x^x=1$ เมื่อ take log เข้าไป จะได้ว่า $xlogx=0$ นั่นหมายความว่า $x=0,1$ ซึ่งแปลว่า $0^0=1$ งั้นหรือ

อย่างไรก็ตาม ประสบการณ์ของผมยังน้อยอยู่มากนัก จึงอยากรบกวนขอคำแนะนำจากพี่ๆด้วยครับ

ขอบคุณครับ

[GunUltimateID]

เคยคิดอยู่เหมือนกัน อยากรู้ว่าคิดยังไง

[Scylla_Shadow]

[quote=Paragon;61729....อีกข้อนึงครับ ที่ผมรู้สึกสงสัยเหมือนกัน นั่นก็คิอ
$x^x=1$ เมื่อ take log เข้าไป จะได้ว่า $xlogx=0$ นั่นหมายความว่า $x=0,1$ ซึ่งแปลว่า $0^0=1$ งั้นหรือ

อย่างไรก็ตาม ประสบการณ์ของผมยังน้อยอยู่มากนัก จึงอยากรบกวนขอคำแนะนำจากพี่ๆด้วยครับ

ขอบคุณครับ [/QUOTE]


ถ้า x=0 แล้ว log0 = ???

วิธีหนึ่งในการแก้สมการพวกนี้ ก็มี วาดกราฟครับ แล้วหาจุดตัดเอา (ในกรณีที่ทราบว่าคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)

[Paragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ถ้า x=0 แล้ว log0 = ???

วิธีหนึ่งในการแก้สมการพวกนี้ ก็มี วาดกราฟครับ แล้วหาจุดตัดเอา (ในกรณีที่ทราบว่าคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)

โอ้ ผมปล่อยไก่ตัวเบ้อเริ่มเลย ลืมตรวจคำตอบเลยเรา - -"

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำนะครับ ผมลืมวิธีนี้ไปพอดีเลย

แล้วกราฟ $x^x=y$ นี่ เป็นยังไงหรอครับ หรือว่า แทนค่าเอา แล้ว plot จุดไปเรื่อยๆ

แล้วมีกราฟ xกำลังxกำลังxไปเรื่อยๆ หรือ $x^y=y$ ไหมครับ

[Scylla_Shadow]

ครับ ประมาณนั้นครับ plot จุดไปเรื่อยๆครับ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Paragon

$x^x=1$ เมื่อ take log เข้าไป จะได้ว่า $xlogx=0$ นั่นหมายความว่า $x=0,1$ ซึ่งแปลว่า $0^0=1$ งั้นหรือ

มาย้ำให้ฟังครับว่า ที่เราทำข้างบนตีความได้ว่า ถ้า $x^x=1$ แล้ว $x$ ไม่สามารถเป็นอย่างอื่นได้นอกจาก 0 กับ 1
ซึ่งไม่ได้แปลว่า ถ้า $x=0$ แล้วจะได้ $x^x=1$ ครับ

[RT,,Ant~*]

$ x^x = x \times x $

$ x \times x = 4 $

$ x(1+1) = 4 $
$ x = 2 $

ผมยังพิมพ์LaTexไม่เป็นเลยอ่ะครับบ บ เศร้า

ปล. ไม่มั่นใจนะครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RT,,Ant~*

$ x^x = x \times x $

$ x \times x = 4 $

$ x(1+1) = 4 $
$ x = 2 $

ผมยังพิมพ์LaTexไม่เป็นเลยอ่ะครับบ บ เศร้า

ปล. ไม่มั่นใจนะครับ

$x^x \not= (x)(x)$

[Anarist]

เริ่มมาึควรสมมติให้ $x > 0$ ก่อนครับ เพราะ $0^0$ ไม่นิยาม ส่วนกรณี $x < 0$ จะมีความยุ่งยากในการนิยาม $x^x$ อยู่ เพราะมีทฤษฏีจำนวนเชิงซ้อนเข้ามาเกี่ยว

เริ่มจากพิจารณา $f(x) = x^x = e^{x log x}$ สำหรับ $x > 0$ และ $log$ ในนี้ฐาน $e$
ลองดิฟก็จะได้ $f'(x) = e^{x log x} (log x + 1) $
เพราะฉะนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $(0, 1/e)$ และเป็นฟังชั่นเพิ่มบนช่วง $(1/e , \infty )$

ถึง $0^0$ จะไม่นิยาม แต่เราก็หา $\lim_{x \to 0^+} x logx = 0$ ดังนั้น $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
แล้วผมก็หาค่า $f(1/e) \approx 0.69217$
รวบรวมทุกอย่างก็สรุปได้
- ถ้า $a < f(1/e)$ แล้ว $x^x = a$ ไม่มีคำตอบ
- ถ้า $f(1/e) < a < 1$ แล้ว $x^x = a$ มีสองคำตอบ
- ถ้า $a = f(1/e)$ หรือ $a \geq 1$ แล้ว $x^x = a$ มีคำตอบเดียว

เพราะฉะนั้นคำถามตั้งต้นของคุณ Paragon จึงสรุปได้ว่า $x^x = 4$ มี 2 เป็นคำตอบเดียวแน่นอนครับ
ซึ่งจริงๆก็วาดกราฟเช็คได้ แต่วิธีที่ผมเสนอก็ำทำได้ด้วยมือ

ส่วน $x^x = 5$ ก็ต้องหา numerical แหละครับ แต่รู้ว่ามีคำตอบเดียวแน่นอน (อยู่ระหว่าง 2 กับ 3 ด้วย)

[cenia]

$x^x = 4$

$xlogx=log4$

$xlogx = 2log2$

$\therefore x=2$

เดาครับ เทียบสัมประสิทธิ์เอาอ่า

[Paragon]

ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบครับ

[jspan]

อ่านแล้วมึ๊น มึน >_<