สงสัยโจทย์หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

[monster99]

1. จงหาผลต่างของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ $\frac{5}{12} , \frac{10}{16} , \frac{5}{4}$
แบบที่ 1 : ห.ร.ม. = $\frac{ห.ร.ม. เศษ}{ค.ร.น. ส่วน} = \frac{5}{48}$
ค.ร.น. = $\frac{ค.ร.น. เศษ}{ห.ร.ม. ส่วน} = \frac{10}{4}$
ผลต่าง = $ \frac{10}{4}-\frac{5}{48} = \frac{115}{48}$
แต่ถ้าทอนเป็นอย่างต่ำ จะได้ $\frac{5}{12} , \frac{5}{8} , \frac{5}{4}$
แบบที่ 2 : ห.ร.ม. = $\frac{ห.ร.ม. เศษ}{ค.ร.น. ส่วน} = \frac{5}{24}$
ค.ร.น. = $\frac{ค.ร.น. เศษ}{ห.ร.ม. ส่วน} = \frac{10}{4} $
ผลต่าง = $\frac{10}{4}-\frac{5}{24} = \frac{55}{24} = \frac{110}{48}$
ผมสงสัยว่าทำไมถึงไม่เท่ากันครับ แตกต่างกันตรงไหน

ขออีกข้อครับ 2. จงหาค่า n มากที่สุดที่ทำให้ y เป็นจำนวนเต็มบวก
$y=\sqrt{2n(n+1)} $

[nongtum]

1. กาีรหาห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ของเศษส่วน เศษส่วนทุกตัวต้องอยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำครับ
อย่างที่ยกมาก็จะเห็นว่า 5/48 < 5/24 ซึ่งทำให้ 5/48 ไม่ใช่ตัวหารร่วมมากครับ

2. จำนวนทางขวามือจะถอดรากได้ เมื่อ...

[monster99]

เป็นกำลังสอง แต่ผมจัดรูปไม่ได้ครับ ช่วยแนะนำหน่อยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monster99

ขออีกข้อครับ 2. จงหาค่า n มากที่สุดที่ทำให้ y เป็นจำนวนเต็มบวก
$y=\sqrt{2n(n+1)} $

เมื่อกี้งีบหลับไป แล้วฝันว่าหลวงปู่มาให้เลขใบ้หวย

1
8
49
288
1681
9800

ถามหลวงปู่ว่า มีมากกว่านี้ไหม แล้วตัวเลขนี้มายังไง

หลวงปู่ยังไม่ทันตอบ ก็สะดุ้งตื่นมาก่อน




ก็เลยไม่รู้ว่า ตัวเลขเหล่านี้มายังไง

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

เมื่อกี้งีบหลับไป แล้วฝันว่าหลวงปู่มาให้เลขใบ้หวย

1
8
49
288
1681
9800

ถามหลวงปู่ว่า มีมากกว่านี้ไหม แล้วตัวเลขนี้มายังไง

หลวงปู่ยังไม่ทันตอบ ก็สะดุ้งตื่นมาก่อน




ก็เลยไม่รู้ว่า ตัวเลขเหล่านี้มายังไง

หลวงปู่มาเข้าฝันผมต่อครับ

ท่านบอกว่ามีมากกว่านี้ในรูป $n=\frac{(3-2\sqrt{2}^x+(3+2\sqrt{2})^x-2}{4}$

หรือ $n=\frac{-(3-2\sqrt{2})^x-(3+2\sqrt{2})^x-2}{4}$

เมื่อ x เป็นจำนวนเต็มบวกครับ

จะได้y= $\frac{(3+2\sqrt{2})^x-(3-2\sqrt{2})^x}{2\sqrt{2}}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

หลวงปู่มาเข้าฝันผมต่อครับ

ท่านบอกว่ามีมากกว่านี้ในรูป $n=\frac{(3-2\sqrt{2}^x+(3+2\sqrt{2})^x-2}{4}$

หรือ $n=\frac{-(3-2\sqrt{2})^x-(3+2\sqrt{2})^x-2}{4}$

เมื่อ x เป็นจำนวนเต็มบวกครับ

จะได้y= $\frac{(3+2\sqrt{2})^x-(3-2\sqrt{2})^x}{2\sqrt{2}}$

เมื่อคืนหลวงปู่วิ่งกลับมาเข้าฝันผมอีก

บอกว่าหลวงปู่งง

หลวงปู้งงตรงนี้

หรือ $n=\frac{-(3-2\sqrt{2})^x-(3+2\sqrt{2})^x-2}{4}$

เมื่อ x เป็นจำนวนเต็มบวกครับ

หลวงปู้กระซิบว่า ถ้าx เป็นจำนวนเต็มบวก ค่า $n$ ก็จะติดลบ

ถ้าค่า $n$ ติดลบ ค่าติดลบที่เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุด คือ - 1

แต่ถ้าแทนค่า $n = 1 \ $ ใน $ \ y=\sqrt{2n(n+1)} \ $ $ \ \ y $ ก็ยังเป็นบวก

ดังนั้น $n=\frac{-(3-2\sqrt{2})^x-(3+2\sqrt{2})^x-2}{4}$ จึงยังไม่ใช่ค่าสูงสุดที่ทำให้ $y $ เป็นบวก

หลวงปู่ว่ามาอย่างนี้

[หยินหยาง]

นึกอยู่แล้วว่า ทำไมเราไม่ฝันซะที ก็เพราะหลวงปู่ติดกิจธุระนี่เองวิ่งรอกไปหาคุณ Scylla_Shadow ทีแล้วก็ไปหาคุณ banker ทีแล้วจะมีเวลาไหนมาเข้าฝันผมละ สงสัยต้องเปลี่ยนมุขใหม่ซะแล้ว

[nongtum]

อุเหม่ หลวงปู่เข้าฝันคนโน้นมี คนนี้ที แต่ไม่ยักจะเข้าทรงใครมาพิมพ์ตอบชัดๆเคลียร์ๆสักที
เลยได้แต่ฝันหรือทดต่อไปว่าสูตรนี้ท่านได้อย่างใดกัน (เพราะฉันไม่รู้)

ปล. หลวงปู่น่าจะมาเข้าสิงช่วยผมตอนสอบนะนี่

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monster99

ขออีกข้อครับ 2. จงหาค่า n มากที่สุดที่ทำให้ y เป็นจำนวนเต็มบวก
$y=\sqrt{2n(n+1)} $

$y=\sqrt{2n(n+1)} $

$y^2= 2n(n+1) $

$y^2= 2n^2+2n $

$y^2 - 2n - 2n^2 = 0 $

$y^2-2n+n^2 - 3n^2 = 0$

$(y-n)^2 - (\sqrt{3} n)^2 = 0 $

$(y-n-\sqrt{3} n)(y-n+\sqrt{3} n) =0$

$[y-(1+\sqrt{3} )n][y-(1-\sqrt{3} )n] =0$



กรณี
$y-(1+\sqrt{3} )n =0$

$y = (1+\sqrt{3} )n$

$y$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกก็ต่อเมื่อ $n = (\sqrt{3}- 1)$


แต่เมื่อแทนค่ากลับไปแล้ว ไม่เห็น $y$ จะเป็นค่าเต็มบวก

ผิดตรงไหนหว่า

หรือว่า $y$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกก็ต่อเมื่อ $n = x(\sqrt{3}- 1)$

เมื่อ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ปวดหมองอีกแล้ว

ทิ้งไว้อย่างนี้ก่อน เดี๋ยวไปงีบก่อน เผื่อมีอะไรดีๆบ้าง

กรณี
$y-(1-\sqrt{3} )n =0$

$y = (1-\sqrt{3} )n$

กรณีนี้จะได้ค่า $n$ ที่ติดลบ จึงจะทำให้ $y$ มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$y=\sqrt{2n(n+1)} $

$y^2= 2n(n+1) $

$y^2= 2n^2+2n $

$y^2 - 2n - 2n^2 = 0 $

$y^2-2n+n^2 - 3n^2 = 0$

$(y-n)^2 - (\sqrt{3} n)^2 = 0 $
ที่ปวดหมองก็เพราะมันผิดตั้งแต่ตรงนี้
$(y-n-\sqrt{3} n)(y-n+\sqrt{3} n) =0$

$[y-(1+\sqrt{3} )n][y-(1-\sqrt{3} )n] =0$



กรณี
$y-(1+\sqrt{3} )n =0$

$y = (1+\sqrt{3} )n$

$y$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกก็ต่อเมื่อ $n = (\sqrt{3}- 1)$


แต่เมื่อแทนค่ากลับไปแล้ว ไม่เห็น $y$ จะเป็นค่าเต็มบวก

ผิดตรงไหนหว่า

หรือว่า $y$ จะเป็นจำนวนเต็มบวกก็ต่อเมื่อ $n = x(\sqrt{3}- 1)$

เมื่อ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ปวดหมองอีกแล้ว

ทิ้งไว้อย่างนี้ก่อน เดี๋ยวไปงีบก่อน เผื่อมีอะไรดีๆบ้าง

กรณี
$y-(1-\sqrt{3} )n =0$

$y = (1-\sqrt{3} )n$

กรณีนี้จะได้ค่า $n$ ที่ติดลบ จึงจะทำให้ $y$ มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก

พอดี ท่านเทพของคุณ banker กระซิบให้ร่างทรงมาตอบให้ชัดๆ ร่างทรงเลยบอกว่าข้อนี้มีจำนวน n อนันต์ที่ยังสอดคล้องกับสมการนี้ ส่วนเหตุผลก็คือถ้ารู้จัก Pell's Equation ก็จะรู้ว่าทำไมถึงเป็นอย่างที่ว่า เพราะจากโจทย์เราจัดรูปใหม่ได้
$y^2 =2n^2+2n$
$2y^2=4n^2+4n+1-1$
$2y^2 = (2n+1)^2-1$
$ (2n+1)^2-2y^2 = 1$
หรือถ้าจะหาคำตอบแบบง่ายๆ โดยที่ไม่ต้องแทนค่ายุ่งยากแบบคุณ Scylla_Shadow แล้วละก็ลองดูวิธีนี้ครับ
ถ้าให้ (a,b) เป้นคำตอบที่สอดคล้องกับสมการ โดยที่ $\frac{a-1}{2} = n$ และ $b=y$
จะเห็นได้ชัดว่าชุดแรกที่ n เป็นบวกคือ (3,2)นั่นคือ n =1, y=2 และการจะหาชุดต่อไปเราจะหาได้จาก
$a_{i+1}= 3a_i+4b_i$ และ $b_{i+1}= 2a_i+3b_i$
ซึ่งจะได้ว่า (a,b)
$(17,12) ~~~~n=8, y=12$
$(99,70) ~~~~n=49, y=70$

[Siren-Of-Step]

ช่วยบอกทีฮะ Pell's Equation มันคืออะไรครับ

[คusักคณิm]

#11
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=322