|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#61
|
|||
|
|||
ขอถามนิดนึงนะครับ ข้อ 8 นี่หมายความว่า สมมติ จำนวน $n$ จำนวนที่ว่า เป็น $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ก็จะได้ว่า $a_i\pm\sqrt{a_i}=$ sq. of a rational number เมื่อ $i=1,2,\cdots n$ ใช่ไหมครับ?
13 เมษายน 2010 17:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#62
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เพราะเดิมโจทย์ก็ไม่ได้บอกว่า n เป็นเท่าไรอยู่แล้ว จึงหาไปได้เรื่อยๆ ผมขอยกตัวอย่างคำตอบแรกของเขานะครับ คำตอบแรกสุดคือ (25/24)^2 เนื่องจาก (25/24)^2 + (25/24) = (35/24)^2 และ (25/24)^2 - (25/24) = (5/24)^2 เป็นต้น ผมไม่ได้เข้ามาตอบนานมากแล้ว ลืมวิธีพิมพ์สมการเกือบหมด เอาไว้จะทบทวนใหม่ และพิมพ์ให้สวยกว่าคำอธิบายข้างต้น :-)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#63
|
||||
|
||||
มาพบกับปัญหาข้อ 9 กันเลยครับ!
----------------------------------------------------------------------------------------------- Problem 9: To find a comnon value of x that will make a2x2 +/- ax = , b2x2 +/- bx = , c2x2 +/- cx = , etc. ad infinutum. ปัญหาข้อ 9: จงหาค่าของ x ที่ใช้ร่วมกัน ซึ่งจะทำให้ a2x2 +/- ax = , b2x2 +/- bx = , c2x2 +/- cx = , ต่อไปจนถึงอนันต์ ----------------------------------------------------------------------------------------------- ผมมีปัญหากับการพิมพ์เครื่องหมายบวกลบ (+/-) ทำให้สวยไม่ได้ แต่คิดว่าคงพอเข้าใจได้ ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์นะครับ :-)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#64
|
||||
|
||||
มาพบกับปัญหาข้อ 10 กันเลย ไม่ต้องรอช้า!
----------------------------------------------------------------------------------------------- Problem 10: Find three square numbers in arithmetical progression, such that if from each its root be subtracted, the three remainders shall be rational squares. ปัญหาข้อ 10: จงหาจำนวนยกกำลังสอง 3 จำนวนในลำดับเลขคณิต, ซึ่งหากนำรากของมันมา "ลบออกจากตัวมันเองแล้ว", ผลลัพธ์ทั้งสามค่าต้องเป็นจำนวนตรรกยะยกกำลังสอง. ----------------------------------------------------------------------------------------------- ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์นะครับ :-)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 14 เมษายน 2010 20:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#65
|
|||
|
|||
เครื่องหมาย บวกลบ ใน LaTeX ให้ใช้โค้ด \pm ได้ครับ
Edit: ข้อ 8 ให้ $\displaystyle a_i=\frac{\left(i^2+2i+2\right)^4}{16i^2\left(i+1\right)^2\left(i+2\right)^2}$ เมื่อ $i\in\mathbb{N}$ จะได้ $\displaystyle a_i+\sqrt{a_i}=\left(\frac{\left(i^2+2i+2\right) \left(i^2+4i+2\right)}{4i \left(i+1\right) \left(i+2\right)}\right)^2$ $\displaystyle a_i-\sqrt{a_i}=\left(\frac{\left(i^2+2i+2\right) \left(i^2-2\right)}{4i \left(i+1\right) \left(i+2\right)}\right)^2$ ดังนั้น มีำจำนวนตรรกยะ $a_i$ จำนวนไม่จำกัดที่ $a_i\pm\sqrt{a_i}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ข้อ 6 เราก็นิยาม $a_i=\left(i^2+2i+2\right)^2,b_i=4i\left(i+1\right) \left(i+2\right)$ จะได้ $a_i^2\pm a_ib_i$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์เช่นกันครับ 14 เมษายน 2010 21:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#66
|
|||
|
|||
ทำไมผมเห็นสัญลักษณ์หลังสมการอันด้านบน เป็นกล่องสี่เหลี่ยม ข้างในมีตัวอักษร F087 อยู่
ไม่ทราบว่ามันคืออะไรครับ ขอถามหน่อยนะครับว่า พวก a,b,c,x อะไรพวกนี้ เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนเต็ม ครับ? คิดว่าระบุไว้น่าจะดีครับ เพราะว่าแต่ละข้อมันไม่เหมือนกัน 14 เมษายน 2010 21:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#67
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
พวก a, b, c, x เป็นจำนวนตรรกยะครับ !
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#68
|
||||
|
||||
ลองมาดูโจทย์ข้อ 23 กันดีกว่า ... พยายามโพสต์รูปตามหนังสือต้นฉบับ
คงต้องขอแรงใครสักคนแปลโจทย์ให้หน่อย ผมอ่านแล้วมึน :-) ในตอนท้ายสุดของบรรทัดที่ 4 ซึ่งเป็นเครื่องหมาย Xd หมายถึง ถูกคูณ (คงมาจาก multiply + ed = multiplied ในเล่มเขาชอบย่อแบบนี้) .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 14 เมษายน 2010 23:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#69
|
|||
|
|||
สำหรับ ข้อ 7
เราเลือก $\displaystyle x=5^{4n}$ เราสามารถแสดงได้ว่า $5^{2n}$ สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวก 2 จำนวนได้อย่างน้อย $n$ แบบที่แตกต่างกัน ให้ $\displaystyle 5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ เมื่อ $i=1,2,\cdots,n$ โดยที่ $x_i>y_i>0$ และ $\left\{x_i,y_i\right\}\not=\left\{x_j,y_j\right\}$ สำหรับ $i\not =j$ ใดๆ เลือก $\displaystyle a_i=4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)$ สังเกตว่า $\displaystyle x=5^{4n}=\left(x_i^2+y_i^2\right)^2$ จาก $\displaystyle x^2\pm a_ix=\left(\left(x_i^2\pm 2x_iy_i-y_i^2\right) \left(x_i^2+y_i^2\right)\right)^2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เราจึงเลือก $x,a_i$ ได้ตามที่โจทย์ต้องการ สำหรับข้อ 9 สังเกตว่า $$x^2\pm a_ix=sq.\Leftrightarrow \left(\frac{x}{a_i}\right)^2\pm\frac{x}{a_i}=sq.\Leftrightarrow b_i^2x^2\pm b_ix=sq.$$ เมื่อ $\displaystyle b_i=\frac{1}{a_i}$ ดังนั้น ในทำนองเดียวกับข้อ 7 เราเลือก $x=5^{4n}=\left(x_i^2+y_i^2\right)^2$, $\displaystyle b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$ ก็จะได้ว่า $\displaystyle b_i^2x^2\pm b_ix=\left(\frac{\left(x^2\pm2xy-y^2\right) \left(x^2+y^2\right)}{4xy \left(x^2-y^2\right)}\right)^2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ตามต้องการ Edit: เพิ่งนึกขึ้นได้ ข้อ 7 กับ 9 พวก $a,b,c,...$ (ตัวที่ไม่ใช่ common value ทั้งหมด) พวกนี้ เขาเลือกมาให้เรา หรือว่า ให้เราเลือกเองครับ? 15 เมษายน 2010 12:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#70
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$$ 15 เมษายน 2010 12:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#71
|
||||
|
||||
#68
เพื่อความสะดวก ขอใช้การถอดความและขยายความแทนการแปลตามตัวอักษร สงสัยว่าตรงไหนผิดหรือไม่ชัดเจนบอกได้นะครับ 23. จงหาจำนวนจัตุรัสสี่จำนวน $a,b,c,d$ ที่ทำให้ (1) $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส (2) $a+d$ เป็นจำนวนจัตุรัส (3) $b+c$ เป็นจำนวนจัตุรัส (4) $(\sqrt{c}+\sqrt{d})\sqrt{c}$ เป็นจำนวนจัตุรัส (5) $(\sqrt{c}+\sqrt{d})\sqrt{b+d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส (6) $a+b+c+3c$ เป็นจำนวนจัตุรัส (7) $a+b+c+d+3c$ เป็นจำนวนจัตุรัส (8) $cd+ab$ เป็นจำนวนจัตุรัส (9) $cd+ac$ เป็นจำนวนจัตุรัส (10) $cd+bc$ เป็นจำนวนจัตุรัส (11) $cd+ab+ac+bc$ เป็นจำนวนจัตุรัส (ตั้งแต่ข้อ 12-14 เป็นความสัมพันธ์แบบ cyclic จะแสดงแค่ตัวอย่างหนึ่งตัวเท่านั้น: ผู้แปล) (12) $a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส (13) $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส (14) $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+\sqrt{d}$ เป็นจำนวนจัตุรัส (15) จงหาจำนวนจัตุรัสอีกสี่จำนวน $p,q,r,s$ ที่ $p+\sqrt{q}+\sqrt{r}+\sqrt{s},\ q+\sqrt{p}+\sqrt{r}+\sqrt{s},\ r+\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{s}$ เป็นจำนวนจัตุรัสทุกตัว และ $p,q,r,s$ สอดคล้องเงื่อนไขข้อ $2-11$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#72
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
อันนี้ข้อ 6 ในแบบของผม (เห็นเขานิยมเขียนแบรูปเท่าไปกันเลยอยากเขียนบ้าง) $a^2\pm ab = sq.$ $a = (u^2 + v^2) ,$ $b = 4uv(u-v)(u+v)$ แล้วถ้าเราคูณ $a_i$ เข้าไปด้วย $k^2$ เราก็จะได้เพิ่มอีกไม่รู้จักจบ ส่วนข้อ 7 มาในลักษณะเดียวกัน สังเกตตรงที่ว่า $a = (u^2 + v^2)$ ต้องใช้หลาย u,v ที่ทำให้ได้ a เท่ากัน จากความขี้เกียจของผมก็เลยไปดึงเอาเลขจากตาราง Pythagorean triples เอามาคำนวนหา a,b โดยเลือกเอาตรงที่มี $u^2 + v^2$ มากๆ (อย่างที่ผมเอามาก็คือ $425^2$) ปัญหาคือผมรู้ได้อย่างไงว่ามี $x$ ที่ทำให้สร้างสมการกี่สมการก็ได้คำตอบคือ เอกลักษณ์นี้ (ว่ากันว่า คิดโดย Brahmagupta ชาวอินเดีย) $(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2) = (x_1y_1+x_2y_2)^2 + (x_1y_2-x_2y_1)^2$ แค่สมมุติว่าเรามี $a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=a_3^2+b_3^2=....=a_n^2+b_n^2$ เราก็จะสร้างสมการได้ n สมการแล้ว ทีนี้ถ้าผมเอามาคูณต่อด้วยอะไรซักอย่างเราก็ยิ่งมีสมการเพิ่ม $(c^2+d^2)(a_1^2+b_1^2)=(ca_1+db_1)^2+(cb_1-da_1)^2=(cb_1+da_1)^2+(ca_1-db_1)^2$ $=(c^2+d^2)(a_2^2+b_2^2)=(c^2+d^2)(a_3^2+b_3^2)=(c^2+d^2)(a_n^2+b_n^2)$ 15 เมษายน 2010 23:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TitanTS |
#73
|
||||
|
||||
ขอบคุณ #71 ของคุณ nongtum ที่ช่วยแปลโจทย์ยาวเหยียดข้อ 23 ให้เพื่อนๆ ได้อ่าน
(เพื่อนๆ บางคนอาจเก่ง Math แต่อาจจอดเพราะโจทย์ภาษาอังกฤษได้) ขอบคุณ #70 ของคุณ Little Penguin ที่ช่วย Update ข้อมูลเกี่ยวกับกำลังห้า ขอบคุณหลายคนที่ช่วยกันเสนอแนวคิดการแก้โจทย์ ผมคิดว่ากระทู้คงเป็นประโยชน์ กับน้องๆ อีกหลายรุ่นเลย :-)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#74
|
||||
|
||||
^
#72 ข้างบนผมแก้แค่ทีเดียวทำไมมันขึ้นมามากมายอย่างงี้ มาต่อกันที่ข้อ 8 มันก็คล้ายๆกับ ข้อที่ผ่านมาแค่ให้ b=1 เราก็แค่เอา $4uv(u+v)(u-v)$ หารออกตลอดก็จะได้ $a^2 \pm a =sq.$ $a = \frac{u^2 + v^2}{4uv(u+v)(u-v)} $ ดูถ้ามันง่ายขึ้นกว่้าข้อแรกๆมากเลยครับนี้ แล้วใครมีเวลาลองกลับไปดูข้อที่เราข้ามกันมาด้วยนะครับ 15 เมษายน 2010 23:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TitanTS |
#75
|
||||
|
||||
ตอบคุณ Little Penguin ในท้าย #69 ที่ถามว่า
Edit: เพิ่งนึกขึ้นได้ ข้อ 7 กับ 9 พวก a,b,c,... (ตัวที่ไม่ใช่ common value ทั้งหมด) พวกนี้ เขาเลือกมาให้เรา หรือว่า ให้เราเลือกเองครับ? พวก a,b,c,... ให้เราเลือกได้เอง ซึ่งก็ต้องเลือกเพื่อให้ x เป็น common value ดังนั้น x แต่ละตัว ก็จะมี a,b,c,... ที่ไม่เหมือนกันไปเรื่อยๆ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
|
|