ช่วยพิสูจน์เรื่องฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

[G.MATH]

1. ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป A จะได้ว่า fof =f ก็ต่อเมื่อ f(x) = x สำหรับทุก x ที่เป็นสมาชิกของเรนจ์ของ f
2. ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B และ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไป C จงพิสูจน์ว่า
ถ้า gof เป็นฟังก์ชันทั่วถึง และ g เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

[ครูนะ]

1.

พิสูจน์ขาไป
จาก $fof = f$ จะได้ $f = f^{-1}$
ให้ $x \in A$
ดังนั้น $fof(x) = f(x)$
เพราะฉะนั้น $f^{-1}ofof(x)$ = $f^{-1}of(x)$
จึงสรุปได้ว่า $f(x)$ = $x$

พิสูจน์ขากลับ
ให้ $x \in A$
จาก $f(x) = x$
เพราะฉะนั้น $fof(x)$ = $f(f(x))$ = $f(x)$ = $x$

2.

ให้ f เป็นฟังก์ชันไม่ทั่วถึง
ดังนั้น จะมี y1 $\in$ Range f และ y2 $\not\in$ Range f
และจะได้ว่า y1 $\not=$ y2
สมมุติให้ g(y1) $\not=$ g(y2)
จาก gof เป็นฟังก์ชันทั่วถึง
ดังนั้น g(y2) $\in$ gof แต่จาก y2 $\not\in$ Range f
เพราะฉะนั้น g(y2) $\in$ gof เกิดข้อขัดแย้ง
ทำให้ได้ว่า g(y1) = g(y2)
ซึ่ง เกิดข้อขัดแย้งกับ g เป็นฟังก์ชัน 1-1
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง