มีปัญหาเกี่ยวกับอนุกรม

[XCapTaiNX]

กำหนดให้ $a_1 = 1$ และ $a_n = a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}} $ จงหาค่าของ $a_{100}$

ต้องการวิธีคิดอ่ะครับ ช่วยแนะแนวทางหน่อยครับ

[Aquarious]

มันน่าจะหา $a_{100}$ ตรงๆไม่ได้นะครับ

แต่น่าจะหาประมาณได้ ว่า$k<a_{100}<k+m$ เมื่อ $ k,m\in N$

[XCapTaiNX]

งั้นช่วยหาค่าประมาณ ให้ก็ได้ครับ ผมจำคำตอบไม่ได้ แต่อยู่ในรูปช่วงคำตอบอ่ะครับ

[กิตติ]

น่าจะเป็นเรื่องของลำดับมากกว่าหรือเปล่าครับ เพราะอนุกรมหมายถึงผลบวกจากพจน์แรกไปจนถึงพจน์ที่ต้องการ ไม่ใช่หรือครับ
ข้อนี้โหดน่าดู....ไม่ใช่โจทย์ระดับม.ต้นมั้งครับ

[Aquarious]

จาก $a_{n}=a_{n−1}+\frac{1}{a_{n-1}} $

จะได้ $a_{n}^2=a_{n−1}^2+\frac{1}{a_{n-1}^2}+2 $

ดังนั้น $ a_{n}^2 > a_{n−1}^2+2 $

ทำให้ $ a_{100}^2 > a_{99}^2+2 $

$a_{100}^2>a_{98}^2+2(2) $
...
$a_{100}^2>a_{1}^2+2(99)$

ดังนั้น $ a_{100}^2 >199 $

ในทำนองเดียวกันจะได้ $a_{n−1}^2+3>a_{n}^2$

ทำเหมือนด้านบนจะได้ $ 298 >a_{100}^2 >199 $

ดังนั้น$18> \sqrt{298}> a_{100} >\sqrt{199}> 14$

$\therefore 18>a_{100} >14 $

[XCapTaiNX]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquarious

จาก $a_{n}=a_{n−1}+\frac{1}{a_{n-1}} $

จะได้ $a_{n}^2=a_{n−1}^2+\frac{1}{a_{n-1}^2}+2 $

ดังนั้น $ a_{n}^2 > a_{n−1}^2+2 $

ทำให้ $ a_{100}^2 > a_{99}^2+2 $

$a_{100}^2>a_{98}^2+2(2) $
...
$a_{100}^2>a_{1}^2+2(99)$

ดังนั้น $ a_{100}^2 >199 $

ในทำนองเดียวกันจะได้ $a_{n−1}^2+3>a_{n}^2$
ทำเหมือนด้านบนจะได้ $ 298 >a_{100}^2 >199 $

ดังนั้น$18> \sqrt{298}> a_{100} >\sqrt{199}> 14$

$\therefore 18>a_{100} >14 $

2บรรทัดนี้มายังไงหรอครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ XCapTaiNX

2บรรทัดนี้มายังไงหรอครับ

จะได้ $a_{n}^2=a_{n−1}^2+\frac{1}{a_{n-1}^2}+2 $

จัดรูปใหม่ สลับหมู่การบวก $a_{n}^2=(a_{n−1}^2 +2 )+\frac{1}{a_{n-1}^2}$

ฝั่งขวา $(a_{n−1}^2 +2 )$ ต้องบวกกับ $ \frac{1}{a_{n-1}^2}$ จึงจะเท่ากับ $a_{n}^2$ ฝั่งซ้าย


ดังนั้น $ a_{n}^2 >( a_{n−1}^2+2 )$



ส่วนข้อสงสัยอันหลัง

$a_{n}^2=a_{n−1}^2+\frac{1}{a_{n-1}^2}+2 $


$a_{n}^2 +1 =a_{n−1}^2+\frac{1}{a_{n-1}^2}+2 +1$

$a_{n}^2 +1 =a_{n−1}^2+\frac{1}{a_{n-1}^2}+3$

$a_{n}^2 +(1 - \frac{1}{a_{n-1}^2}) =a_{n−1}^2+3$ ......(*)

แต่ $a_{n-1} > 1$ ดังนั้น $\frac{1}{a_{n-1}^2} > 0$ แต่น้อยกว่า 1

ดังนั้น $(1 - \frac{1}{a_{n-1}^2})$ มากกว่า 0


จาก ......(*) ฝั่งซ้าย $a_{n}^2 $ ต้องบวกกับ $(1 - \frac{1}{a_{n-1}^2}) $ ซึ่งมากกว่า 0 จึงจะเท่ากับ ฝั่งชวา คือ $a_{n−1}^2+3$

เราจึงสรุปว่าฝั่งขวา $a_{n−1}^2+3 $ มากว่า $a_{n}^2$




ในทำนองเดียวกันจะได้ $a_{n−1}^2+3>a_{n}^2$