ช่วยเรื่องอนุกรมอนันต์ด้วยจ้า

[G.MATH]

ช่วยคิดโจทย์ในไฟล์ที่แนบมาด้วยนะคะ

[kimchiman]

นั่นสิ คิดยังไงกัน
รู้แต่ข้อแรก เคยมีคนบอกว่าได้ $\frac{\pi^2}{6}$

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ G.MATH

ช่วยคิดโจทย์ในไฟล์ที่แนบมาด้วยนะคะ

ข้อแรกคือ basel problem ซึ่งต่อมาเป็น euler zeta function แล้วเป็น riemann zeta function ในทีุ่สุด ซึ่งคือ $\zeta (2) = \pi^2/6 \approx 1.6$ วิธีการพิสูจน์มีหลายวิธี

ข้อสองคือ $\zeta (3) \approx 1.2$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

ส่วนข้อที่เหลือ เมื่อยอมรับสองข้อแรกแล้วก็ใช้พีชคณิตบวกลบคูณหารธรรมดา เช่น นำ $1/2^2$ คูณข้อ 1 จะได้ข้อ 4. จากนั้นนำไปหักออกจากข้อ 1. ก็จะได้ข้อ 3

ข้อ 5. และ ข้อ 6 ก็ทำในทำนองเดียวกัน

สรุปตอบ
$1) \pi^2/6$
$2) \zeta(3)$
$3) \pi^2/8$
$4)\pi^2/24$
$5) \frac{7}{8}\zeta(3)$
$6) \frac{1}{8}\zeta(3)$

[Siren-Of-Step]

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4566

[G.MATH]

ขอวิธีพิสูจน์อย่างละเอียดข้อที่สามารถพิสูจน์ได้มั๊ยคะ