ช่วยโจทย์อินทิเกรตข้อนี้ทีครับ

[artpiggo]

ต้องเเยกสองก้อนหรือใช้อินทิเกรต by part อะไรหรือเปล่าครับ

ปล ลืมเเก้ + x "ยกกำลังสองด้วยนะครับ"

[poper]

$$\displaystyle e^{x^2}+e^{-x^2}=e^{x^2}+\frac{1}{e^{x^2}}=\frac{e^{2x^2}+1}{e^{x^2}}\displaystyle$$
$$\displaystyle\int \frac{ln(e^{x^2}+e^{-x^2})+x^2}{e^{x^2}+e^{-x^2}}\cdot xe^{x^2}dx \displaystyle$$
$$\displaystyle=\int \frac{ln(e^{2x^2}+1)\cdot xe^{2x^2}}{e^{2x^2}+1}dx\displaystyle$$
ให้ $u=e^{2x^2}+1$ ใช้แทนค่า แล้วก็ by part ด้วยครับ
ลองทำดูก่อนครับ
เดี๋ยวแสดงแบบละเอียดอีกทีครับ

คำตอบคือ

$\displaystyle\frac{{[ln(e^{2x^2}+1)]}^2}{8}\displaystyle$

[poper]

ต่อนะครับ
$$\displaystyle∫\frac{ln(e^{x^2}+e^{−x^2})+x^2}{e^{x^2}+e^{-x^2}}·xe^{x^2}dx \displaystyle$$ เปลี่ยนรูปจะได้
$$=\displaystyle\int \frac{ln(\frac{e^{2x^2}+1}{e^{x^2}})+x^2}{\frac{e^{2x^2}+1}{e^{x^2}}}\cdot xe^{x^2}dx\displaystyle$$
$$=\displaystyle \int [ln(e^{2x^2}+1)-ln e^{x^2}+x^2]\cdot \frac{e^{x^2}}{e^{2x^2}+1}\cdot xe^{x^2}dx\displaystyle$$
$$=\displaystyle \frac{\int ln(e^{2x^2}+1)\cdot xe^{2x^2}}{e^{2x^2}+1}dx\displaystyle$$
ให้ $u=e^{2x^2}+1$ $\ \ \ \ \ du=4xe^{2x^2}dx$ $\ \ \ \ \ xe^{2x^2}dx=\frac{1}{4}dU$ แทนค่าได้
$$\displaystyle =\frac{1}{4}\int \frac{ln u}{u}du \displaystyle $$
$$\displaystyle \int \frac{ln u}{u}du ={(lnu)}^2-\int \frac{lnu}{u} \ du \displaystyle$$
$$\therefore\displaystyle\int\frac{lnu}{u}\ du=\frac{1}{2}(lnu)^2$$
$$\displaystyle\frac{1}{4}\int\frac{lnu}{u}\ du=\frac{1}{8}(lnu)^2$$