เกี่ยวกับจำนวนเต็ม

[kanji]

ถ้า $n$ ไม่เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ แล้ว จงแสดงว่า มีจำนวนเต็ม $k$
ที่ $(k-1)^2<n<k^2$ เมื่อ $k^2-n$ หรือ $n-(k-1)^2$ เป็นจำนวนคี่อย่างใดอย่างหนึ่ง

[kanji]

ให้ $n$ ไม่เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
ดังนั้น $\sqrt{n} \notin \mathbb{Z}$
จะได้ว่า
$$\lfloor\sqrt{n} \rfloor<\sqrt{n}<\lceil \sqrt{n} \rceil$$

และเนื่องจาก $\lfloor x\rfloor=\lceil x \rceil -1$

ดังนั้น $$(\lceil\sqrt{n} \rceil -1)^2<n<(\lceil \sqrt{n} \rceil)^2$$

นั่นคือ มี $k=\lceil \sqrt{n} \rceil$ ที่ทำให้ $(k-1)^2<n<k^2$