หาสมการของวงกลมที่ผ่านจุดตัดของวงกลมสองวงและผ่านจุดที่กำหนดให้

[shymaan]

$กำหนด x^2+y^2+ax+by+c=0 และ x^2+y^2+dx+ey+f=0 $

$เป็นวงกลมสองวง และ กำหนดจุด A(x_1,y_1) เป็นจุดใดๆ $

$เมื่อ a,b,c,d,e,f,x_1,y_1เป็นจำนวนจริง$

$จงหาสมการที่ผ่านจุดตัดของวงกลมสองวงและผ่านจุด A ในเทอมของ x,y,a,b,c,d,e,f$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ C H O

ผมเคยอ่านเจอในหนังสือเรขาคณิตวิเคราะห์ของมหาลัยนะครับ
วงกลม C ผ่านจุดตัดของวงกลม C1 และ C2 จะได้ว่า สมการวงกลม C คือ
$(x^2+y^2-2x+2y-7)+k(x^2+y^2-4x-6y-3)=0$ โดย $k$ เป็นค่าคงตัวค่าหนึ่ง
เนื่องจากวงกลมผ่านจุด (0,0) แทนในสมการข้างต้น จะได้ $k=-\frac{7}{3}$
ดังนั้น สมการวงกลม C คือ
$(x^2+y^2-2x+2y-7)-\frac{7}{3}(x^2+y^2-4x-6y-3)=0$
$3(x^2+y^2-2x+2y-7)-7(x^2+y^2-4x-6y-3)=0$
$-4x^2-4y^2+22x+48y=0$
$x^2+y^2-5.5x-12y=0$
ดังนั้น $D+E+F=-5.5-12+0=-17.5$

เอามาจากกระทู้นี้ครับ....(แสกนดิบๆ) ข้อสอบ สอวน. ปี 2553 (สวนกุหลาบ)

[shymaan]

ขอบคุณครับ คุณกิตติ ถ้าผมอยากได้ที่มาของสูตรหละครับ จะพอหาได้จากที่ไหน?

หรือ ถ้าจะหาเว็บนอก ภาษาอังกฤษมัน ควรจะมีหัวข้อว่าอะไรครับ?

♥♥♥

[gon]

ให้ $S_1$ แทนเซตของวงกลม $x^2+y^2+Ax+By+C=0 ... (1)$

ให้ $S_2$ แทนเซตของวงกลม $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 ... (2)$

พิจารณาสมการ $S_1+kS_2 = 0$ (มาจาก (1) + k(2))

$x^2+y^2+Ax+By+C+k(x^2+y^2+Dx+Ey+F) = 0 ...(*)$

ถ้าจัดรูปจะได้ $(1+k)x^2+(1+k)y^2+(A+dk)x+(B+Ek)y+(C+F) = 0$

ชัดเจนว่าสมการนี้แทนเซตของสมการวงกลม เมื่อ $k \ne -1$

แล้วเป็นวงกลมแบบไหน.?

สมมติให้จุด $(x_1,y_1)$ เป็นจุดตัดของวงกลมทั้งสอง

จะได้ว่า

$x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C=0 ... (3)$

$x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F=0 ... (4)$

k(4) , $k(x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F) =k(0) = 0 ... (4)$

(3)+(4) , $x_1^2+y_1^2+Ax_1+By_1+C + k(x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1+F) = 0 + 0 = 0$

เมื่อเทียบสมการนี้กับสมการ (*) แปลความได้ว่า ถ้า $(x_1,y_1)$ เป็นจุดตัดของวงกลมทั้งสอง แล้ว $(x_1,y_1)$ จะอยู่บนกราฟของสมการ (*) ด้วย

แต่สมการ (*) แทนสมการวงกลม ดังนั้นสมการ (*) จะแทนเซตของวงกลมใด ๆ ที่ผ่านจุดตัดของวงกลมทั้งสอง $(S_1$ กับ $S_2)$

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณgonที่ช่วยขยายความครับ

[shymaan]

$ขอบคุณครับคุณ gon ที่ทำให้กระจ่างสุดๆ$