#31
|
||||
|
||||
ผม ต้องขอออกตัวว่าแบบฝึกหัดเหล่า ผมรวบรวมมา จากแหล่งต่างๆ เพื่อไว้ฝึกน้องๆที่กำลังจะสอบหมอ พอดีผมสอนเลขอยู่ น่าจะเป็นประโยชน์นะครับ ยินดีที่มีคนรักคณิตศาสตร์อย่าผม
__________________
SO YOU THINK, YOU CAN SOLVE |
#32
|
||||
|
||||
บางข้อคุ้นๆว่ามีใน สอวน
__________________
You only live once, but if you work it right, once is enough |
#33
|
||||
|
||||
ใช่แล้ว ครับผม
ถ้าช่วยกันสร้างข้อสอบไว้เยอะๆมาแลกเปลี่ยนกันนะครับ
__________________
SO YOU THINK, YOU CAN SOLVE 22 กันยายน 2010 21:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post+แก้เล็กน้อยโปรดใช้ปุ่มแก้ไข |
#34
|
|||
|
|||
มีเฉลยไหมอ่ะครับ โจทย์สวยๆเยอะเยะเลย แต่ทำแล้วไม่แน่ใจอ่าครับ
|
#35
|
||||
|
||||
ปกติในโจทย์ของตรีโกณมิติ เราจะบอกขอบเขตของค่ามุมไว้ด้วยว่ามีขอบเขตเท่าไหร่ ข้อนี้กินแรงเหมือนกันถ้าต้องการเช็คค่ามุมให้ถูกต้อง เพราะการโยงมุมครึ่งหนึ่งไปหามุมเต็ม มันต้องผ่านการยกกำลังสอง ซึ่งเราต้องแน่ใจว่าเครื่องหมายนั้นต้องถูกตามQuadrant ไม่ว่า$A,B,A+B,A-B$ ผมคิดได้...$\frac{32}{37} $ $\ sinA+ \ sinB =\frac{1}{2} $..........(1) $\ cosA + \ cosB = \frac{3}{4} $................(2) $\ sin^2A+ \ sin^2B+ \ 2sinAsinB = \frac{1}{4} $ $\ cos^2A + \ cos^2B + \ 2cosAcosB = \frac{9}{16} $ $\ cos(A-B) = -\frac{19}{32} $ $2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{1}{2}$ $2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{3}{4}$ $tan(\frac{A+B}{2}) = \frac{2}{3} $ $cos(A+B) = \frac{1-tan^2(\frac{A+B}{2})}{1+tan^2(\frac{A+B}{2})} \rightarrow cos(A+B) =\frac{5}{13} $ $\ tan\frac{A}{2} + \ tan\frac{B}{2} = \frac{sin(\frac{A+B}{2})}{cos\frac{A}{2} cos\frac{B}{2}} = \frac{2}{cot(\frac{A+B}{2})+\frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin(\frac{A+B}{2})} } $ เดี๋ยวมาพิมพ์ต่อ ยังหาวิธีสั้นๆไม่ได้ $cos(\frac{A-B}{2}) =\sqrt{\frac{cos(A-B)+1}{2} } =\frac{\sqrt{13}}{8} $ $sin(\frac{A+B}{2}) = \sqrt{\frac{1-cos(A+B)}{2} }=\frac{2}{\sqrt{13} } $ $\frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin(\frac{A+B}{2})} =\frac{13}{16} $ $cot(\frac{A+B}{2})= \frac{3}{2} $ $\ tan\frac{A}{2} + \ tan\frac{B}{2} = \frac{2}{cot(\frac{A+B}{2})+\frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin(\frac{A+B}{2})} } = \frac{2}{\frac{3}{2}+\frac{13}{16} } = \frac{32}{37}$ ผมยังไม่ได้ตรวจเครื่องหมายหลังจากถอดรูทว่า ค่าตรีโกณที่หยิบมานั้นตรงตามQที่มุมแต่ละมุมอยู่หรือเปล่า ยังไงลองช่วยกันดูว่าเครื่องหมายผิดตรงไหนบ้าง
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 23 กันยายน 2010 22:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#36
|
||||
|
||||
ข้อนี้ผมใช้เครื่องทุ่นแรงอย่างmod ไม่งั้นคิดจนงง ร่วมกับ Euler's theorem อ่านมาจากกระทู้นี้ครับ ความรู้เบื้องต้นเรื่อง mod เป็นความรู้เกินระดับ ผมได้คำตอบคือ $19$ คิดหารทีละพจน์ $7^{2553} \ $ หารด้วย $45$ เหลือเศษ 37 คิดแบบนี้ จากEuler's theorem : 7 กับ 45 เป็น co-prime ไม่มีตัวร่วม $\phi(45) = 45(1-\frac{1}{3} )(1-\frac{1}{5} ) =24$ $7^{24} \equiv 1 \pmod{45} $ $7^{2553} = 7^{24(106)+9}$ $7^{2553} = 7^9 \equiv \pmod{45} \rightarrow 7^9 \equiv 37 \pmod{45} $ เช่นเดียวกับ $2^{2553} \ $ หารด้วย $45$ เหลือเศษ 17 2 กับ 45 เป็น co-prime ไม่มีตัวร่วม $2^{24} \equiv 1 \pmod{45} $ $2^{2553} = 2^9 \equiv \pmod{45} \rightarrow 2^9 \equiv 17 \pmod{45} $ ดังนั้นเศษที่เหลือจากการหารนำมารวมกันได้ $37+17n$ หารด้วย 45ลงตัว เขียนเป็นสมการได้ว่า$37+17n = 45A$ แปลงให้ดูง่ายหน่อยได้$n = 2(A-1)+\frac{11A-3}{17} $ แทนค่า$A=1,2,3,...$ ไปเรื่อยๆ ได้ค่า$A=8$เป็นค่าแรกที่ทำให้เกิดจำนวนเต็ม แทนค่าได้$n=19$ ผมคิดเป็นคำตอบไว้คร่าวๆ เผื่อจะมีคนประยุกต์ความรู้ขั้นมัธยมปลายหาคำตอบได้ ผมก็ยังไม่แน่ใจว่าตัวเองคิดถูกหรือเปล่า เพราะลองใช้ความรู้นี้เป็นครั้งแรก
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#37
|
|||
|
|||
รบกวนด้วยครับ พอดีไม่ตรงกับคุณอากิตติผู้ใจดี $2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{1}{2}$ $2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{3}{4}$ $tan(\frac{A+B}{2})$ =$\frac{2}{3}$ แล้ววาดรูปสามเหลี่ยมได้ $sin(\frac{A+B}{2})$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$ $cos(\frac{A+B}{2})$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$ นำกลับไปแทนได้ $cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{\sqrt{13}}{8}$ $\ tan\frac{A}{2} + \ tan\frac{B}{2} = \frac{2sin(\frac{A+B}{2})}{cos(\frac{A+B}{2}) + cos(\frac{A-B}{2})}$ เมื่อนำค่าต่างๆไปแทนแล้วได้คำตอบคือ 2 ครับ |
#38
|
|||
|
|||
ผมได้เท่ากับคุณกิตติครับ
ให้ $a=\cos{\dfrac{A}{2}}+i\sin{\dfrac{A}{2}}$ $b=\cos{\dfrac{B}{2}}+i\sin{\dfrac{B}{2}}$ จะได้ว่า $\cos{\dfrac{A}{2}}=\dfrac{a+a^{-1}}{2},\quad\sin{\dfrac{A}{2}}=\dfrac{a-a^{-1}}{2i}$ $\cos{\dfrac{B}{2}}=\dfrac{b+b^{-1}}{2},\quad\sin{\dfrac{B}{2}}=\dfrac{b-b^{-1}}{2i}$ $\cos{A}=\dfrac{a^2+a^{-2}}{2},\quad \sin{A}=\dfrac{a^2-a^{-2}}{2i}$ $\cos{B}=\dfrac{b^2+b^{-2}}{2},\quad\sin{B}=\dfrac{b^2-b^{-2}}{2}$ $\tan{\dfrac{A}{2}}=\dfrac{1}{i}\dfrac{a-a^{-1}}{(a+a^{-1})}=\dfrac{1}{i}\dfrac{a^2-1}{a^2+1}$ $\tan{\dfrac{B}{2}}=\dfrac{1}{i}\dfrac{b-b^{-1}}{b+b^{-1}}=\dfrac{1}{i}\dfrac{b^2-1}{b^2+1}$ จากโจทย์จะได้สมการ $\dfrac{a^2-a^{-2}}{2i}+\dfrac{b^2-b^{-2}}{2i}=\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{a^2+a^{-2}}{2}+\dfrac{b^2+b^{-2}}{2}=\dfrac{3}{4}$ นำสองสมการนี้มาบวกกันและลบกันจะได้สมการ $a^2+b^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{i}{2}$ $a^{-2}+b^{-2}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{i}{2}$ ดังนั้น $a^2b^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^{-2}+b^{-2}}$ $~~~~~=\dfrac{5}{13}+\dfrac{12}{13}i$ สุดท้าย $\tan{\dfrac{A}{2}}+\tan{\dfrac{B}{2}}=\dfrac{1}{i}\Big(\dfrac{a^2-1}{a^2+1}+\dfrac{b^2-1}{b^2+1}\Big)$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{i}\dfrac{2(a^2b^2-1)}{a^2b^2+a^2+b^2+1}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{32}{37}$ วิธีนี้บางครั้งต้องคำนวณตัวเลขเยอะ แต่ข้อดีคือจะหลบสูตรตรีโกณ ที่มีเยอะแยะซึ่งทำให้งงและไม่รู้ว่าจะเริ่มตรงไหนดี ให้เป็นการคำนวณโดยใช้พีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#39
|
||||
|
||||
เห็นข้อสอบแล้ว ผมไม่แน่ใจว่าเขาจะคัดไปเรียนแพทย์หรือเข้าสอบโอลิมปิกกันแน่....
ถ้าคัดไปเรียนแพทย์ ผมคงไม่มีโอกาสได้ไปเรียนแน่นอน แต่ละข้อกินแรงมากเกิน ผมว่าแค่ข้อสอบพลิกแพลงก็น่าจะโอเคสำหรับคัดคนไปเรียนแพทย์ โหดเกินพิกัดครับ... ขอบคุณคุณNooNuiiที่ช่วยดูให้ครับ หลับดึกเหมือนกัน หรือว่าอยู่คนละฟากเวลาของซีกโลกครับ ผมสังเกตว่าชอบเข้ามาตอนดึกๆ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#40
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ที่เหลือต่อเองครับ |
#41
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ สะเพร่าเองครับ หาค่าต่างๆแทนถูกแล้ว แต่คิดเลขผิด ขอบคุณคุณกิตติกับคุณ noonuii มากครับ
|
#42
|
|||
|
|||
Attachment 4039
จัดรูปสมการไฮเพอร์โบลาได้ $\frac{(y-3)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{12} = 1$ จากข้อมูลที่ให้จุดโฟกัสไฮเพอร์เป็นจุดยอดของวงรี $\frac{(y + 3)^2}{16} + \frac{(x-2)^2}{4} = 1$ หาจุดตัดแกน x ได้ x =$ (\frac{4 + \sqrt{7}}{2},0) , (\frac{4-\sqrt{7}}{2},0)$ AB ยาว = $\sqrt{7}$ หน่วย |
#43
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับคุณScylla_Shadowที่แนะให้มากเลย
แต่วิธีที่ผมเฉลยด้วยไอเดียของคุณScylla_Shadowยังดูตลกๆ ผมว่ามันน่าจะยังมีวิธีที่สวยกว่าที่คิดได้ ท่านไหนมีวิธีน่าสนใจก็ลองแนะกันได้ ผมน่ะแก่แล้วความรู้ก็จำกัด วิธีเลยถึกๆ ดูไม่เท่เท่าไหร่ อ้อลืมไปครับ...มาเที่ยวลำปางแล้วก็บอกกันหน่อยนะครับ จะได้เจอกันบ้าง จาก$7^2-2^2=45$ เราเอา$7^2+2^2$คูณทั้งสองข้างให้ซ้ายมือเป็นผลต่างกำลังสองแล้วเราก็คูณไปเรื่อยๆจนได้เลขยกกำลังที่ใกล้ $7^{2553}$ มากที่้สุด $7^4-2^4=45(7^2+2^2)$ $7^8-2^8=45(7^2+2^2)(7^4+2^4)$ $7^{16}-2^{16}=45(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^8+2^8)$ จะเห็นว่าเลขยกกำลังของ7และ2ที่เราเอามาคูณนั้นเป็น$2^n$ ซึ่งค่าที่ใกล้ $2553$ มากที่สุดคือ $2048$ ลองเขียน$2^n$ ออกมาได้ $2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048$ เราลองแยก$2553$ออกมาในรูปที่เป็น$2^n$ เท่ากับ$2048+256+128+16+4+1$ ดังนั้น $7^{2553}=7(7^{2048+256+128+16+4})$ $=7(7^{2048}7^{256}7^{128}7^{16}7^{4})$ แทนค่าลงไปโดย$7^{2048} =2^{2048}+45(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^{1024}+2^{1024})$ ผมให้ก้อนนี้$(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^{1024}+2^{1024})$เป็นอะไรสักอย่าง คือ$A_1$ $7^{2048} =2^{2048}+45A_1$ $7^{256} =2^{256}+45A_2$ $7^{128} =2^{128}+45A_3$ $7^{16} =2^{16}+45A_4$ $7^4 =2^4+45A_5$ เราสนใจว่ามีพจน์ไหนที่ไม่มี$45$เป็นตัวประกอบ ซึ่งก็คือ$2^{2048}\times2^{256}\times2^{128}\times2^{16}\times2^4$ เท่ากับ$2^{2552}$ ดังนั้น$7^{2553}$มีพจน์ที่ไม่มี$45$ คือ$7\times 2^{2552} $ ซึ่งก็คือเศษจากการหาร ดังนั้น $n2^{2553}+7^{2553}$ หารด้วย45ลงตัว เมื่อ $n2^{2553}+7\times 2^{2552}$หารด้วย45ลงตัว $n2^{2553}+7\times 2^{2552} = (2n+7)\times 2^{2552}$ ดังนั้น$2n+7 = 45 \rightarrow n=19$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 24 กันยายน 2010 11:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#44
|
||||
|
||||
แค่นี้วิธีก็เท่ใช้ได้แล้วครับ ขอเอา mod มาใช้ ทำให้วิธีเท่ขึ้นอีก
จาก $7^2\equiv 2^2 \pmod{45}$ ยกกำลัง 2552/2 ทั้งสองข้างครับ $7^{2552}\equiv 2^{2552} \pmod{45}$ จึงได้ $7^{2553}\equiv 7\cdot 2^{2552} \pmod{45}$ ตอนจบก็เหมือนกันครับ |
#45
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โห ... เข็มขัดสั้นไปเลย ผมว่า ในอนาคตเราได้อาจารย์คณิตฯเก่งๆมาเพิ่มแน่ๆ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ที่เรียนพิเศษMathไหนดีที่สุด | คusักคณิm | ฟรีสไตล์ | 27 | 12 ตุลาคม 2011 20:40 |
คุณ ชอบ MATH หรือ SCI. มากกว่ากัน โพลล์!!! | คusักคณิm | ฟรีสไตล์ | 63 | 31 กรกฎาคม 2011 15:45 |
ว้าวเห็นปก My math ใหม่แล้วโดนใจผมมากเลย | คusักคณิm | ฟรีสไตล์ | 44 | 06 มีนาคม 2010 18:25 |
เฉลย Math O-NET 50 | Mastermander | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย | 19 | 28 มีนาคม 2007 17:41 |
ข่าวสารmath | Pich | ปัญหาการใช้เว็บบอร์ด | 19 | 01 กรกฎาคม 2002 20:46 |
|
|