เราทำไม่ได้อ่ะช่วยทำให้เราหน่อยสิ

[RromD]

แอดว้านแคลอะนะ เรื่องสมการความร้อนนะ

$\dfrac{\partial ^2u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial ^2u}{\partial y^2} = 0;\ 0<x<\pi ,\ 0\le y<1$

$\dfrac{\partial u}{\partial x}(0,y) = \dfrac{\partial u}{\partial x} (\pi ,y) = 0;\ 0\le y\le 1$

$u(x,1) =4\cos 6x+\cos7x , 0\le x\le \pi $

$u(x,1) =0\ ,0\le y\le pi $

ช่วยเราหน่อยนะ

ขอบคุณล่วงหน้าค่า

[The Cro_no]

ผมเดาว่า คุณพิมพ์ผิดอ่ะ เพราะมันเหมือนกันเลย u(x,1)=4cos6x+cos7x และก็ u(x,1)=0
เลยเดาว่า โจทย์น่าจะเป็น U(x,0) = 0 เพราะมันเป็น สมการความร้อนนิ
ให้ U = XY
X'(0) = 0 และก็ X'(pi) = 0
Y(0) = 0 และก็ U(x,1) = 4cos6x+cos7x
แทนค่าลงไป ได้ X''/X = Y''/Y = -L (assume ว่า = -L)
จะได้ X'' +LX = 0, X'(0) = X'(pi) = 0
i L = 0 ได้ X= c1 + c2x, X'(0) = 0 then X = c
ii L < 0 ไม่มีคำตอบ
iii L = v^2 > 0
แล้วจะได้ X = c1cos(vx)+c2sin(vx)
X'(0) = 0 --> X = c2cos(vx),x=0 , c2 = 0
X'(pi) = 0 --> X = c1vsin(v*pi) = 0
v = n, n = 0,1,2,3 ...
เพราะฉะนั้น Eigenvalues คือ L = v^2 = n^2
จะได้ Xn = c1cos(nx) for n = 0,1,2,3...
มาที่ Y
Y'-LY = 0 Y(0) = 0
L = 0 --> Y'' = 0 --> Y = c3+c4y
Y(0) = 0 --> c3 = 0 --> Y = c4y
ii for Ln = n^2
Y'' -(n^2)Y = 0
Y = c3cosh(ny)+c4sinh(ny)
Y(0)=0 --> c3 = 0 Y = c4sinh(ny)
จะได้ว่า
$$U(x,y) = A0 + \sum_{n = 1}^{\infty} Ansinh(ny)cos(nx)$$
สุดท้ายและคับ
U(x,1) = 4cos6x+cos7x
ดูจาก series ของ U จะรู้ว่าเป็น half-range cosine expansion จะได้ว่า
$$A0 = 1/(pi)\int_{0}^{pi}\,(4cos6x+cos7x)dx $$
และสุดท้ายจริง ๆ แล้ว
$$An = 2/(pi*sinh(n))\int_{0}^{pi}\,(4cos6x+cos7x)cos(nx)dx $$
นั้นก็คือ
$$U(x,y) = 1/(pi)\int_{0}^{pi}\,(4cos6x+cos7x)dx + \sum_{n = 1}^{\infty} 2/(pi*sinh(n))\int_{0}^{pi}\,(4cos6x+cos7x)cos(nx)dx * sinh(ny)cos(nx)$$

[Hirokana]

เห็นโจทย์แล้วนึกย้อนไปตอนเรียนสมการความร้อน ใน DE