มีโจทย์มาให้ช่วยครับ

[{ !++_I' M @WESOME_++! }]

1.ถ้า $3+\sqrt{7} , 1 $ เป็นคำตอบของสมการ $ax^{3}-bx^{2}-cx+d = 0 $ แล้ว สมการ $ bx^{2} +cx+k = 0 $ จะมีคำตอบเดียว เมื่อ k นั้นมีค่าเป็นเท่าใด

2.ถ้า $a^{2}+b^{2} = 4(a+b) $ แล้ว $$\frac{a^{3}+(3b-1)a^{2} -4ab +(a-3)b^{2}+3b^{3} }{3b^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{3}+a^{2}b}$$ มีค่าเป็นเท่าใด

3.ค่า ของ $x$ จากสมการ $(x+2)(x+3)(x-4)(x-5) = 44$

4.ถ้า $(x^{2}+x)^{2} +72 = 18(x^{2}+x)$ แล้วผลรวมคำตอบของสมการมีค่าเท่าใด

ขอบคุณล่วงหน้าครับ สำหรับ วิธีทำ
ปล. ข้อ 3,4 ข้อแค่แนวคิดก็พอครับ ที่เหลือผมจัดการเอง

[PGMwindow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ { !++_I' M @WESOME_++! }

4.ถ้า $(x^{2}+x)^{2} +72 = 18(x^{2}+x)$ แล้วผลรวมคำตอบของสมการมีค่าเท่าใด

ให้ $(x^{2}+x) = y$
จะได้ $y-18y+72=0$
$(y-6)(y-12)=0$
$y=6,12$
....

ที่เหลือต่อเองเลยครับ

[PGMwindow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ { !++_I' M @WESOME_++! }

3.ค่า ของ $x$ จากสมการ $(x+2)(x+3)(x-4)(x-5) = 44$

ลองดูครับ
$(x+2)(x-4)(x+3)(x-5) = 44$
$(x^2-2x-8)(x^2-2x-15)=44$
ให้ $y = x^2-2x$
จะได้ $(y-8)(y-15)-44=0$
$y^2-23y+76 = 0$
$(y-4)(y-19)=0$
....

ที่เหลือก็จัดการเองเลยครับ

[กิตติ]

1.ถ้า $3+\sqrt{7} , 1 $ เป็นคำตอบของสมการ $ax^{3}-bx^{2}-cx+d = 0 $ แล้ว สมการ $ bx^{2} +cx+k = 0 $ จะมีคำตอบเดียว เมื่อ k นั้นมีค่าเป็นเท่าใด

มาพิจารณา$ bx^{2} +cx+k = 0 $ จะมีคำตอบเดียวเมื่อ$c^2-4bk=0$
$k = \dfrac{c^2}{4b} $
จากสมการ $ax^{3}-bx^{2}-cx+d = 0 $
$x^3-\frac{b}{a}x^2-\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0 $
แทนรากลงไปก่อน
$x=1$ จะได้ว่า $a-b-c+d=0$.....(1)
$x= 3+\sqrt{7}$ จะได้ว่า $a(3+\sqrt{7})^3-b(3+\sqrt{7})^2-c(3+\sqrt{7})+d=0$
$(3+\sqrt{7})^2 = 16+6\sqrt{7}$
$(3+\sqrt{7})^3 = 90+34\sqrt{7}$
$a(90+34\sqrt{7})-b(16+6\sqrt{7})-c(3+\sqrt{7})+d=0$
$(90a-16b-3c+d)+(34a-6b-c)\sqrt{7}=0$
ถ้าโจทย์กำหนดว่า$a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า$34a-6b-c = 0$........(2)
และ $90a-16b-3c+d =0$...........(3)
(3)-(1) $89a-15b-2c =0$........(4)
(2)คูณด้วย 2 ; $68a-12b-2c =0$...........(5)
(4)-(5); $21a-3b=0 \rightarrow b = 7a$
แทน $b$ใน(2) $34a-42a=c \rightarrow c = -8a$
$k = \frac{64a^2}{28a} $
$k= \frac{16}{7}a$

ไม่รู้ว่าจะหาค่า $a$ออกมาเป็นตัวเลขไหม เดี๋ยวขอจดโจทย์คิดในกระดาษก่อนครับ

[คนอยากเก่ง]

ข้อ2ครับ
แยกได้
$\frac{(a^2+b^2)(a+3b)-(a+3b)(a+b)}{(a^2+b^2)(a+3b)}$
ตัดกัน
$\frac{a^2+b^2-a-b}{a^2+b^2}$
$a^2+b^2=4(a+b)$
$\frac{3(a+b)}{4(a+b)}$
ตัดครับ
$\frac{3}{4}$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ถ้าโจทย์กำหนดว่า$a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็ม

มีรากของสมการ คือ $1, 3+\sqrt{7} $ อีกตัวควรเป็นอะไร ถึงจะทำให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็ม

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ { !++_I' M @WESOME_++! }

2.ถ้า $a^{2}+b^{2} = 4(a+b) $ แล้ว $\frac{a^{3}+(3b-1)a^{2} -4ab +(a-3)b^{2}+3b^{3} }{3b^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{3}+a^{2}b}$ มีค่าเป็นเท่าใด

แนะให้อีกวิธีสำหรับคนขี้เกียจคิดแบบผม เราสามารถกำหนดค่า ให้สอดคล้องกับโจทย์ที่กำหนดให้ ซึ่งจะได้ว่า $a =4, b =0$
ต่อจากนั้นก็แทนค่าก็ได้คำตอบแล้วครับ คือ $\frac{3}{4}$

[กิตติ]

อีกตัวน่าจะเป็นคอนจูเกตของ$3+\sqrt{7} $ คือ $3-\sqrt{7} $
สมการจะเป็น$(x-1)(x-(3+\sqrt{7}))(x-(3-\sqrt{7}))$
$=(x-1)\left\{\,x^2-6x+2\right\} $
$= x^3-7x^2+8x-2$
$a=1 \quad,b= 7 \quad,c= -8 \quad,d=-2$
$k= \frac{c^2}{4b} =\frac{64}{28} $
$k = \frac{16}{7} $

[กิตติ]

น้องคนอยากเก่งครับ....การแยกตัวประกอบ
วิธีของซือแป๋หยินหยางน่าจะจำไปใช้เวลาทำโจทย์ เพื่อไม่ไปมัวเสียเวลากับการเปลี่ยนผลบวกเป็นผลคูณ

[คนอยากเก่ง]

ขอบคุณมากครับ

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

อีกตัวน่าจะเป็นคอนจูเกตของ$3+\sqrt{7} $ คือ $3-\sqrt{7} $
สมการจะเป็น$(x-1)(x-(3+\sqrt{7}))(x-(3-\sqrt{7}))$
$=(x-1)\left\{\,x^2-6x+2\right\} $
$= x^3-7x^2+8x-2$
$a=1 \quad,b= 7 \quad,c= -8 \quad,d=-2$
$k= \frac{c^2}{4b} =\frac{64}{28} $
$k = \frac{16}{7} $

อยากทราบว่าเราจะรู้ได้ยังไงครับว่า คอนจูเกตของรากที่มีรูทอยู่จะทำให้เราได้สมการที่มีสปส.เป็นจน.เต็มทุกตัว หวังว่าจะไม่งงกับคำถามผมนะครับ

[~ArT_Ty~]

ไม่รู้จะเกี่ยวมั้ยนะครับ

ถ้ามีจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งเป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

แล้ว สังยุคของมันก็ต้องเป็นรากของพหุนามนั้นด้วย

[กิตติ]

ผมจำได้ว่าคอนจูเกตในความหมายของชั้นระดับมัธยม อย่าง$a+\sqrt{b} $ มีสังยุคหรือคอนจูเกตคือ$a-\sqrt{b}$
ผมเคยอ่านพบว่าคอนจูเกตของจำนวนใดๆเมื่อคูณกับจำนวนนั้นๆแล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม
ในความหมายระดับสูง ผมอ่านแล้วบ่เข้าใจ เขาอ้างเซตโน่นเซตนี่ ความรู้ผมไม่ถึงขั้น
อีกอย่างหนึ่งผมสังเกตว่าเวลาเราแก้สมการกำลังสองจากสูตรเราจะได้ว่า
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} $
ถ้า$\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$ เป็นรากของสมการแล้ว ถ้า$b^2-4ac \not= 0$ ซึ่งก็คือติดรูท
อีกรากหนึ่งของสมการก็จะเป็น $\frac{-b- \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

อยากทราบว่าเราจะรู้ได้ยังไงครับว่า คอนจูเกตของรากที่มีรูทอยู่จะทำให้เราได้สมการที่มีสปส.เป็นจน.เต็มทุกตัว หวังว่าจะไม่งงกับคำถามผมนะครับ

ก็เพราะว่ารากที่ติดรูทเมื่อคูณกับสังยุคของตัวมันเองก็จะได้จำนวนเต็ม ก็อย่างที่$(x-(3+\sqrt{7}))(x-(3-\sqrt{7}))= x^2-6x+2$
สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มทุกพจน์

[[FC]_Inuyasha]

ขอบคุณมากครับทั้ง2คห.