separable equation (หรือป่าว)

[Yuranan]

กำหนดให้ $f_1=f_1(x),f_2=f_2(y),f_3=f_3(z)$ และ $a,b,c,d,e,f,k$ เป็นค่าคงที่

$$\frac{f_1''}{f_1}+\frac{f_2''}{f_2}+\frac{f_3''}{f_3}+a\frac{f_2'}{f_2}-b\frac{f_3'}{f_3}+k^2=0$$
$$\frac{f_1''}{f_1}+\frac{f_2''}{f_2}+\frac{f_3''}{f_3}+c\frac{f_3'}{f_3}-d\frac{f_1'}{f_1}+k^2=0$$
$$\frac{f_1''}{f_1}+\frac{f_2''}{f_2}+\frac{f_3''}{f_3}+e\frac{f_1'}{f_1}-f\frac{f_2'}{f_2}+k^2=0$$
ผมลองให้ $$f_1=e^{r_1x},f_2=e^{r_2y},f_3=e^{r_3z}$$ ปรากฏว่าไม่ได้คับ รบกวนช่วยผมแก้ด้วยนะคับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

กำหนดให้ $f_1=f_1(x),f_2=f_2(y),f_3=f_3(z)$ และ $a,b,c,d,e,f,k$ เป็นค่าคงที่

$$\frac{f_1''}{f_1}+\frac{f_2''}{f_2}+\frac{f_3''}{f_3}+a\frac{f_2'}{f_2}-b\frac{f_3'}{f_3}+k^2=0$$
$$\frac{f_1''}{f_1}+\frac{f_2''}{f_2}+\frac{f_3''}{f_3}+c\frac{f_3'}{f_3}-d\frac{f_1'}{f_1}+k^2=0$$
$$\frac{f_1''}{f_1}+\frac{f_2''}{f_2}+\frac{f_3''}{f_3}+e\frac{f_1'}{f_1}-f\frac{f_2'}{f_2}+k^2=0$$
ผมลองให้ $$f_1=e^{r_1x},f_2=e^{r_2y},f_3=e^{r_3z}$$ ปรากฏว่าไม่ได้คับ รบกวนช่วยผมแก้ด้วยนะคับ

$a\frac{f_2'}{f_2}-b\frac{f_3'}{f_3}=c\frac{f_3'}{f_3}-d\frac{f_1'}{f_1}=e\frac{f_1'}{f_1}-f\frac{f_2'}{f_2}$

หากลองจับคู่แรกมาพิจารณา

$a\frac{f_2'}{f_2}+d\frac{f_1'}{f_1}=(b+c)\frac{f_3'}{f_3}$

ข้างซ้ายเป็นฟังก์ชันของตัวแปร $x,y$ ข้างขวาเป็นฟังก์ชันของตัวแปร $z$

คิดว่าเหตุการณ์แบบนี้เกิดขึ้นได้เมื่อไหร่?

ขอตีความว่า $x,y,z$ เป็นตัวแปรที่เป็นอิสระต่อกัน

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$a\frac{f_2'}{f_2}-b\frac{f_3'}{f_3}=c\frac{f_3'}{f_3}-d\frac{f_1'}{f_1}=e\frac{f_1'}{f_1}-f\frac{f_2'}{f_2}$

หากลองจับคู่แรกมาพิจารณา

$a\frac{f_2'}{f_2}+d\frac{f_1'}{f_1}=(b+c)\frac{f_3'}{f_3}$

ข้างซ้ายเป็นฟังก์ชันของตัวแปร $x,y$ ข้างขวาเป็นฟังก์ชันของตัวแปร $z$

คิดว่าเหตุการณ์แบบนี้เกิดขึ้นได้เมื่อไหร่?

ขอตีความว่า $x,y,z$ เป็นตัวแปรที่เป็นอิสระต่อกัน

ขอบคุณคับ ตอนนี้ผมว่าผมแก้ได้แล้วคับโดยการสมมุติคำตอบดังตอนแรก