ช่วยพิสูจน์ anlysis 2 ข้อนี้ด้วยคับ

[kimmath]

ขอละเอียดนะคับ ขอด่วนนะคับ ทำไม่ได้จิงๆคับ ขอบคุณคับ

1. ให้ ฟังก์ชัน f ส่งจาก R ไป R define f(x)= x^2 for x rational , f(x):=0 for x irrational . Show f diff ได้ ที่ x=0 และ หาค่าให้ด้วย
(อ. บอกว่าทำแยกไม่ได้อ่า ต้องใช้ subsequence)

2. ให้ f , g diff ได้ บน R . สมมติ f(0)= g(0) และ f ' (x) =< g ' (x) for all x >=0 . Show f(x) =< g(x) for all x >=0
(ผมใช้ Mean แล้ว ไม่รุจะทำไงให้ได้ f(x) =< g(x) อะคับ)

[nooonuii]

1. ลองหา $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ ก็น่าจะพอมองเห็นนะว่าคำตอบคืออะไร

ลองใช้นิยามแบบ $\delta-\epsilon$ ครับ

2. ให้ $h(x)=g(x)-f(x)$ จะได้ว่า $h'(x)\geq 0$ ทุก $x\geq 0$

ดังนั้น $h$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $[0,\infty]$

จึงได้ $h(x)\geq h(0)$ ทุก $x\geq 0$