|
|
#1
03 ตุลาคม 2011, 22:22
|
||||
|
||||
จงเเสดงว่า a=b
ให้ a,b$\in \mathbb{Z}$ ซึ่ง $a\left|\,\right.b^2$ ,$b^2\left|\,\right.a^3$ ,$a^3\left|\,\right.b^4$,...... จงเเสดงว่า a=b
 ช่วยหน่อยนะครับ
__________________
God does mathematics. 
|
|
#2
04 ตุลาคม 2011, 08:55
|
||||
|
||||
|
จาก $a\mid b^2$ จะสรุปได้ว่ามี ... ที่ทำให้ ...
จาก $b^2\mid a^3$ ต่อจากบรรทัดบน จะสรุปได้ว่ามี ... ที่ทำให้ ... จาก $a^3\mid b^4$ ต่อจากบรรทัดบน จะสรุปได้ว่ามี ... ที่ทำให้ ... ทำต่อถึงบรรทัดที่ $n$ จะสรุปได้ว่ามี ... ที่ทำให้ ... ถึงตรงนี้จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง $a^n,b^n$ ได้ แล้วค่อยใช้สมบัติของจำนวนเต็มหาข้อสรุปปิดท้าย
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 04 ตุลาคม 2011 08:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
|
|
#3
04 ตุลาคม 2011, 19:48
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
อ้างอิง:
__________________
God does mathematics.
|
|
#4
04 ตุลาคม 2011, 20:04
|
||||
|
||||
|
#3
ท่อนแรก คือนิยามการหารลงตัว อันหลังอาศัยการสังเกตผลที่ได้จากการแทนค่าต่อๆกันในตอนแรกครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish.
|
|
#5
04 ตุลาคม 2011, 20:30
|
||||
|
||||
|
เเล้วสมบัติของจำนวนเต็มละครับ
__________________
God does mathematics.
|
|
#6
04 ตุลาคม 2011, 20:33
|
||||
|
||||
|
#5
ในที่นี้ใช้ตั้งแต่ตอนไล่นิยามการหารลงตัวแล้วครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish.
|
|
#7
05 ตุลาคม 2011, 19:10
|
||||
|
||||
|
ทำไมผมทำเเล้วไม่ออกครับ ช่วยเฉลยหน่อยครับ
__________________
God does mathematics.
|
|
#8
05 ตุลาคม 2011, 19:50
|
||||
|
||||
|
ทำให้ดูก่อนสามบรรทัดแรกครับ
จาก $a\mid b^2$ จะสรุปได้ว่ามี $k_1\in \mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $k_1a=b^2$ จาก $b^2\mid a^3$ ต่อจากบรรทัดบน จะสรุปได้ว่ามี $k_2\in \mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $k_2b^2=k_1k_2a=a^3$ จาก $a^3\mid b^4$ ต่อจากบรรทัดบน จะสรุปได้ว่ามี $k_3\in \mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $k_3a^3=k_1k_2k_3a=b^4$ ทำต่อถึงบรรทัดที่ $n$ จะสรุปได้ว่ามี $k_n\in \mathbb{Z}$ ที่ทำให้ ...
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish.
|
|
#9
05 ตุลาคม 2011, 20:37
|
||||
|
||||
|
เเล้วมันจะได้อะไรต่อละครับ
__________________
God does mathematics.
|
|
#12
09 ตุลาคม 2011, 22:58
|
||||
|
||||
|
พิจารณาดูรูปแบบของมันก่อน $a\mid b^2, a^3\mid b^4,...$ จะได้รูปแบบของมันคือ $a^{2n-1}\mid b^{2n}$ อีกชุดหนึ่ง $b^2\mid a^3,b^4\mid a^5,...$ จะได้รูปแบบของมันคือ $b^{2n}\mid a^{2n+1}$
เพราะฉะนั้นจะมีให้เราตั้งต้นได้คือ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$ จะได้ $a^{2n-1}\mid b^{2n}$ และ $b^{2n}\mid a^{2n+1}$ เสมอ ต่อไปสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์คือ $a=b$ เราจะหาข้อขัดแย้งให้ได้ว่า $a>b$ ขัดแย้ง และ $a<b$ ขัดแย้ง หลังจากนี้เราจะอ้างสมบัติไตรวิภาคว่า $a=b$ เท่านั้นจึงจะจบบทพิสูจน์ ลองทบทวนดูว่าเรามีอะไรอยู่ในหัวบ้าง เราควรใช้ความรู้ตรงไหนเข้าไปตีโจทย์ เราแม่นทฤษฎีบทพอแล้วหรือยัง สิ่งที่เรามีอยู่ตอนนี้คือ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$ 1.$a^{2n-1}\mid b^{2n}$ และ 2.$b^{2n}\mid a^{2n+1}$ การจะพิสูจน์ว่า $a>b$ ขัดแย้งนั้น เราต้องสร้างความสัมพันธ์บางอย่างให้สามารถเชื่อมโยงระหว่าง $a,b$ ที่เป็นจำนวนเต็มได้ เราจะใช้ Fundamental theorem of Arithmetic เพื่อสร้างตัว connect ระหว่าง $a,b$ โดยอ้างว่า มีจำนวนเฉพาะ $p_{i}$ และ $p_{j}$ และมีจำนวนเต็มบวก $a_{i}$ และ $b_{j}$ โดยที่ $1\leq i \leq t$ และ $1\leq j \leq s$ ที่ทำให้ $a=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{t}^{a_{t}}$ และ $b=p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}...p_{s}^{b_{s}}$ โดยที่ $s,t$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน เมื่อวิเคราะห์ดูแล้ว เราพบว่า $s=t$ เท่านั้น เพราะอะไร? เพราะว่า $a,b$ ไม่มีสิทธิที่จะมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันเลย ถ้า $a$ มีตัวประกอบเฉพาะอะไรซักตัว $b$ ต้องมีด้วย และ $b$ มีตัวประกอบเฉพาะอะไรซักตัว $a$ ต้องมีด้วย ไม่เช่นนั้นแล้ว มันจะขัดแย้งกับ 1.$a^{2n-1}\mid b^{2n}$ และ 2.$b^{2n}\mid a^{2n+1}$ เพราะฉะนั้นเราได้ว่า $a=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{t}^{a_{t}}$ และ $b=p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}...p_{t}^{b_{t}}$ สร้างความสัมพันธ์ได้แล้ว เอาไปโยงไปกลับในสิ่งที่เรามี $a^{2n-1}\mid b^{2n}$ จะได้ $p_{1}^{(2n-1)a_{1}}p_{2}^{(2n-1)a_{2}}...p_{t}^{(2n-1)a_{t}}\mid p_{1}^{2nb_{1}}p_{2}^{2nb_{2}}...p_{t}^{2nb_{t}}$ และ $b^{2n}\mid a^{2n+1}$ จะได้ $p_{1}^{2nb_{1}}p_{2}^{2nb_{2}}...p_{t}^{2nb_{t}}\mid p_{1}^{(2n+1)a_{1}}p_{2}^{(2n+1)a_{2}}...p_{t}^{(2n+1)a_{t}}$ ต่อไปเราต้องการพิสูจน์ว่า $a<b$ และ $a>b$ ขัดแย้ง เรามี $a^{2n-1}\mid b^{2n}$ เพราะฉะนั้น $(2n-1)a_{i}\leq 2nb_{i}$ ทุกค่า $i=1,2,...,t$ และ $b^{2n}\mid a^{2n+1}$ เพราะฉะนั้น $2nb_{i} \leq (2n+1)a_{i}$ ทุกค่า $i=1,2,...,t$ เพราะว่าความสัมพันธ์ $a^{2n-1}\mid b^{2n}$ และ $b^{2n}\mid a^{2n+1}$ เป็นจริงเสมอจากโจทย์กำหนดทุกจำนวนเต็มบวก $n$ ดังนั้นเราจะใช้ความจริงตรงนี้มาหาข้อขัดแย้งที่เหมาะสม เพราะว่ามันเป็นจริงทุก $n$ เราจะหา $n$ ที่ทำให้มันเกิดข้อขัดแย้ง สมตติว่า $a<b$ เพราะฉะนั้นมันต้องมี $a_{i}< b_{i}$ จะเลือกให้ $n=b_{i}$ จะได้ว่า $(2b_{i}+1)(b_{i}-a_{i})>b_{i}$ $(2n+1)(b_{i}-a_{i})>b_{i}$ $(2n+1)b_{i}-b_{i}>(2n+1)a_{i}$ $2nb_{i}>(2n+1)a_{i}$ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้งกับ $2nb_{i} \leq (2n+1)a_{i}$ สมตติว่า $a>b$ เพราะฉะนั้นมันต้องมี $a_{i}> b_{i}$ จะเลือกให้ $n=a_{i}$ จะได้ว่า $2a_{i}(a_{i}-b_{i})>a_{i}$ $2na_{i}-2nb_{i}>a_{i}$ $(2n-1)a_{i}>2nb_{i}$ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้งกับ $(2n-1)a_{i}\leq 2nb_{i}$ ตรงนี้ก็สามารถจบบทพิสูจน์ได้เลย และเขียนสรุปตอนท้ายว่า "จากสมบัติไตรวิภาคต้องได้ว่า a=b ตามต้องการ" ที่บอกว่าโจทย์ผิดน่ะครับ -1 หาร 1 ลงเสมอจากนิยามการหารลงตัว ถ้า $a\mid b$ จะมี $k$ ที่ทำให้ $b=ak$ เราก็แก้โจทย์เป็น $a,b$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ -1,1 ก็พอครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" 09 ตุลาคม 2011 23:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Keehlzver
|
  |
|
|
