การจัดเรียงนักเรียน

[Yuranan]

โจทย์มีอยู่ว่า มีนักเรียนชายสองคน นักเรียนหญิงสามคน ให้หาจำนวนวิธีการนั่งที่ นักเรียนชายนั่งติดกัน และนักเรียนหญิงนั่งติดกัน โดยมีเก้าอี้ในแนวตรงแปดตัว คับ

[Thgx0312555]

ลองนำเก้าอี้ว่างมาสลับดูครับ
จะได้ 5!2! = 240 วิธี

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ผมได้ $5!3!2!=1440$ วิธีอ่ะครับ

[Thgx0312555]

เก้าอี้ว่างแต่ละตัวเหมือนกันนะครับ อย่าลืม

ใช้สูตรสลับสิ่งของเหมือนกันครับ

[gon]

เข้าใจว่าวิธีของคุณ Thgx0312555 คือ $\frac{5!}{3!1!1!}\times 2!3! = 5! \times 2! = 240$


อีิกวิธีหนึ่งก็คือ มัดหญิง 3 คนและชาย 2 คน แล้วสลับที่กันได้ $(3!2!)\times2!$

จากนั้นเอาเก้าอี้ 3 ตัว ซึ่งคิดว่าเป็นของที่เหมือนกัน ไปแทรกระหว่างคนสองกลุ่มที่มัดกันอยู่ ซึ่งมีช่องว่างอยู่ 3 ช่อง (หน้า กลาง หลัง)

จำนวนวิธีการแทรก ก็จะสมมูลกับจำนวนวิธีของจำนวนสามอันดับของจำนวนเต็ม $(a, b, c)$ ทั้งหมดซึ่ง $a+b+c=3, ~~~a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0,$ ซึ่งมีคำตอบทั้งหมดเท่ากับ $\binom{6-1}{3-1} = \binom{5}{2}$ ชุด

ดังนั้นจึงจัดได้ $(3!2!)\times2! \times \binom{5}{2} = 240$

[polsk133]

_ ชช _ ญญญ _

ช สลับกันได้ 2!
ญ สลับกันได้ 3!

กลุ่มชาย กลุ่ม ญ สลับกันได้ 2!

มีที่ว่าง3ช่อง ช่องแรก เก้าอี้ x ตัว ช่องสอง y ช่องสาม z

ได้ x+y+z=3 หาจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก + {0} ได้ 10 แบบ

ตอบ 3!2!2! (10) =240

ปล.ไม่ได้กด F5 เลยยังไม่เหนคุณ gon โพสครับ 555+

[แม่ให้บุญมา]

สำหรับคนอ่อนหัดอย่างผม คิิดแบบประถมก็ได้คำตอบเหมือนกันครับ คือเริ่มจากกลุ่มผู้ชาย 3 คน นั่งติดกันริมซ้ายสุดเป็นตำแหน่งที่ 1 ทั้งกลุ่มจะขยับไปทีละตำแหน่งจนชิดขวาสุดเป็นตำแหน่งที่ 6 แล้วลองดูว่าให้กลุ่มผู้หญิงย้ายไปนั่งที่ไหนได้บ้างในแต่ละตำแหน่งของกลุ่มผู้ชาย ปรากฏว่าตำแหน่ง(วิธี)ที่ 1-6ของผู้ชาย กลุ่มผู้หญิงจะนั่งได้เป็นจำนวน 4,3,3,3,3,4 ตำแหนง(วิธี)ตามลำดับ รวม วิธีที่กลุ่มชายและหญิงนั่งได้ทั้งหมด = 1x(4+3+3+3+3+4)= 20 วิธี
รวม =วิธีการจัดเรียงภายในกลุ่มผู้ชาย x วิธีการจัดเรียงกลุ่มผู้หญิง x วิธีการจัดเรียงสองกลุ่มนี้ = 3! 2! x 20 = 240 วิธี

หรือคิดคล้ายของคุณ Gon
มีสองกลุ่มจะมีที่ว่างจะไปแทรกเก้าว่าง 3 ตัวได้ 3 ที่ คือระหว่างกลุ่ม และข้างกลุ่มทางซ้ายสุดหรือขวาสุด ตามที่คุณ gon อธิบาย
นั่นคือแบ่งกลุ่มเก้าอี้ว่างเป็น 3 กลุ่มตามลำดับ ได้แก่( 0,0,3) , ( 0,1,2), (1,1,1) จำนวนวิธีจัดเรียงแต่ละแบบรวมได้ = 3!/2! + 3! + 1=10
วิธีทั้งหมดรวม = จัดเรียงภายในกลุ่มผู้ชาย x จัดเรียงภายในกลุ่มผู้หญิง x สลับลำดับระหว่างกลุ่ม xวิธีบริหารเก้าอี้ว่าง = 3! 2! 2! x 10 = 240

ขณะเดียวกันก็ต้องทำความเข้าใจ วิธีลัดของผู้รู้ทั้งหลายไปด้วย ยังสงสัยว่าคิดได้ 5!2! = 240 วิธี ของคุณ Thgx0312555 ได้อย่างไร ต้องคิดแบบคุณ Gon ก่อนหรือไม่ก่อนจะมาเป็นรูปนี้

[แม่ให้บุญมา]

[quote=gon;130375]เข้าใจว่าวิธีของคุณ Thgx0312555 คือ $\frac{5!}{3!1!1!}\times 2!3! = 5! \times 2! = 240$

เพิ่งเข้าใจวิธีของคุณ Gon ว่าได้มายังไง เป็นการแบ่งของเป็น 5 กลุ่มใหญ่ ได้แก่ กลุ่มผู้ชาย(3 คน) กลุ่มผู้หญิง(2คน) และ เก้าอี้ว่างอีก 3 กลุ่มๆละตัว ซึ่งซ้ำกันเพราะเป็นเก้าอี้ที่ไม่มีความแตกต่างกัน การวิธีการจัดเรียง 5 กลุ่มนี้ ก็ต้อง 5! หารด้วย กลุ่มที่ซ้ำกัน ซึ่งได้แก่ เก้าอี้ทั้งสาม การสลับกันระหว่าง เก้าอี้เหล่านี้ไม่นับ จึงต้องคิดลดไป ส่วน 1, 1 ก็หมายถึง กลุ่ม ผู้ชาย และ กลุ่มผู้หญิง ซึ่งต่างก็มี 1 กลุ่ม ซึ่งไม่แยกจากกัน ส่วน 2!3! ก็เป็นการสลับคนภายในกลุ่ม ผู้ชาย และ หญิงตามลำดับ

[แม่ให้บุญมา]

คิดอีกวิธี แบ่ง เก้าอี้ 8 ตัวเป็น 5 กลุ่ม คือ $(ช_1,ช_2), (ญ_1,ญ_2,ญ_3), ว,ว,ว $ โดย ว แทน เก้าอี้ว่างมี 3 ตัว
ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดเรียง $=\frac{5!}{3!}2!3!=(5\times4)(2)(ุ6)=240$

ลำดับคือ การจัดเรียง 5 กลุ่ม มีซ้ำกัน 3 คือเก้าอี้ว่าง 3 ตัว จึงได้ $=\frac{5!}{3!}$ วิธี
และจัดเรียงภายในกลุ่มชายได้ 2! วิธี ภายในกลุ่มหญิงได้ 3! วิธี นำมาคูณกันได้คำตอบตามข้างบนนี้