ความสงสัยเกี่ยวกับตรรกศาสตร์(เรื่องประพจน์)

[Anupon]

สวัสดีครับ ผมสงสัยเกี่ยวกับเรื่องประพจน์ในตรรกศาสตร์ซึ่งผมมักจะมีความเห็นไม่ตรงกับเพื่อนๆ เลยอยากจะให้พี่ช่วยออกความคิดเห็นให้หน่อยครับ

ผมอ่านมาจากหนังสือสองเล่ม สรุปได้ใจความเกี่ยวกับประพจน์ดังนี้

ประพจน์คือ ประโยคที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเพียงอย่างเดียว ซึ่งประโยคดังกล่าวอาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ (และในหนังสืออีกเล่มเสริมอีกว่า มีประโยคที่เหมือนประพจน์แต่ไม่เช่นประพจน์ เช่น "สมศรีสวยที่สุดในซอย" ความสวยเป็นเรื่องเชิงจิตวิสัย ไม่สามารถพิสูจน์ได้แน่ชัดเป็นจริงหรือเท็จ ดังนั้นจึงไม่เป็นประพจน์)

พอทันทีที่ผมอ่านจบก็เปิดดูโจทย์ ซึ่งมีบางข้อผมถกเถียงกับเพื่อนๆดังนี้ครับ

1) x+5 = 7 ---> ผมและเพื่อนเห็นว่าเป็นไม่ประพจน์เพราะตัวแปร x ไม่ทราบค่า
2) มีจำนวน x บางจำนวนซึ่งทำให้ x+5 = 7 ---> แต่พอเพิ่มคำว่า มีจำนวน x บางจำนวนเข้ามา ผมและเพื่อนไปกันไม่ถูกเลยครับ ว่าเป็นประพจน์หรือเปล่า

3) ข้อความใดไม่เป็นประพจน์
ก.เซตของจุดบนส่วนของเส้นตรงทียาวหนึงนิวเป็นเซตอนันต์
ข.ประโยคทุกประโยคทีมีค่าความจริงเป็นจริงเป็นประพจน
ค.คณิตศาสตร์เป็นวิชาทียากกว่าวิทยาศาสตร์
ง.เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย
----> ข้อนี้เพื่อนผมบอกว่า ข้อ ง.ไม่เป็นประพจน์ แต่ผมเห็นว่าข้อ ค.และ ง. ไม่เป็นประพจน์ เพราะข้อ ค.น่าจะเป็นเรื่องเชิงจิตวิสัย

4) ข้อความใดเป็นประพจน์
ก. ประโยคนีเป็นเท็จ
ข. อ่านหนังสือให้จบก่อนจึงค่อยกินข้าว
ค. ตืนนอนเช้าๆ สมองจะได้ปลอดโปร่ง
ง. ขอให้ทุกคนโชคดีในการทําข้อสอบ
----> ข้อนี้เพื่อนผมบอกว่า ข้อ ค. เป็นประพจน์ แต่ผมกลับมองว่าข้อ ค.อาจจะเป็นเรื่องของความรู้สึกก็ได้ เลยไม่น่าจะมีประพจน์ในข้อนี้

5)
ให้ p แทน ?นักเรียนชาย?
q แทน ?ผู้ทีนุ่งกางเกงขายาว?
r แทน ?ผู้ทีได้รับอนุญาตให้เข้ามาในโรงเรียน
ข้อความ ?นักเรียนชายทีนุ่งกางเกงขายาว เป็นผู้ได้รับอนุญาตให้เข้ามาในโรงเรียน? เขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ใด
----> ข้อความนี้เพื่อนผมมันเขียนว่า (p^q)->r อ่ะครับ แต่ผมถามเพื่อนว่าทำไม มันก็ตอบกันไม่ได้ ผมเองก็เขียนไม่ถูกเหมือนกัน

ขอโทษที่ยาวไปนิดนะครับ แต่ผมรู้สึกงงๆจริงๆนี่คือเรื่องที่เขาบอกในม.ปลายว่าง่ายที่สุดผมยัง"งง" ขนาดนี้เลย รบกวนอยากให้ช่วยตอบและแสดงเหตุผลหน่อยครับว่าทำไมถึงตอบข้อนี้เพราะอะไรอะครับ

[poper]

ข้อ 2. เป็นประพจน์ครับ

[polsk133]

มีบางจำนวน ถ้าสอดคล้องสักตัวก็จริงทันที
ทุกจำนวน ถ้าไม่สอกคล้อง1ตัวจะเท็จทันที

3)ผมตอบ ค.เพราะบอกจริงเท็จไม่ได้ ง.ยังบอกได้นะครับ

5)โจทพูดถึง ผช ที่ใส่กางเกงขายาว เลยต้องเป็น p^q แล้วก็ตามประโยคอะครับก็ต้องใช้ถ้า...แล้ว

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

3)ผมตอบ ค.เพราะบอกจริงเท็จไม่ได้ ง.ยังบอกได้นะครับ

ง. เป็นจริงหรือเท็จอ่ะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anupon

สวัสดีครับ ผมสงสัยเกี่ยวกับเรื่องประพจน์ในตรรกศาสตร์ซึ่งผมมักจะมีความเห็นไม่ตรงกับเพื่อนๆ เลยอยากจะให้พี่ช่วยออกความคิดเห็นให้หน่อยครับ

ผมอ่านมาจากหนังสือสองเล่ม สรุปได้ใจความเกี่ยวกับประพจน์ดังนี้

ประพจน์คือ ประโยคที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเพียงอย่างเดียว ซึ่งประโยคดังกล่าวอาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ (และในหนังสืออีกเล่มเสริมอีกว่า มีประโยคที่เหมือนประพจน์แต่ไม่เช่นประพจน์ เช่น "สมศรีสวยที่สุดในซอย" ความสวยเป็นเรื่องเชิงจิตวิสัย ไม่สามารถพิสูจน์ได้แน่ชัดเป็นจริงหรือเท็จ ดังนั้นจึงไม่เป็นประพจน์)

พอทันทีที่ผมอ่านจบก็เปิดดูโจทย์ ซึ่งมีบางข้อผมถกเถียงกับเพื่อนๆดังนี้ครับ

1) x+5 = 7 ---> ผมและเพื่อนเห็นว่าเป็นไม่ประพจน์เพราะตัวแปร x ไม่ทราบค่า

เป็นประโยคเปิด (open sentence) ครับ เพราะมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าคือ x อยู่ และเมื่อแทน x ลงไปแล้วจะได้ประพจน์

2) มีจำนวน x บางจำนวนซึ่งทำให้ x+5 = 7 ---> แต่พอเพิ่มคำว่า มีจำนวน x บางจำนวนเข้ามา ผมและเพื่อนไปกันไม่ถูกเลยครับ ว่าเป็นประพจน์หรือเปล่า

x+5 = 7 อันนี้เดิมเป็นประโยคเปิด แต่เมื่อเติมคำว่า มี.... บางตัว แล้วเป็นการเติมตัวบ่งปริมาณ (quantifier) for some ลงไป ซึ่งจะทำให้เป็นประพจน์ $\exists x [ x + 5 = 7], U = R$

3) ข้อความใดไม่เป็นประพจน์
ก.เซตของจุดบนส่วนของเส้นตรงทียาวหนึงนิวเป็นเซตอนันต์
ข.ประโยคทุกประโยคทีมีค่าความจริงเป็นจริงเป็นประพจน
ค.คณิตศาสตร์เป็นวิชาทียากกว่าวิทยาศาสตร์
ง.เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย
----> ข้อนี้เพื่อนผมบอกว่า ข้อ ง.ไม่เป็นประพจน์ แต่ผมเห็นว่าข้อ ค.และ ง. ไม่เป็นประพจน์ เพราะข้อ ค.น่าจะเป็นเรื่องเชิงจิตวิสัย

ใช่แล้วครับ ข้อ ง. นั้นไม่เป็นประพจน์แต่เป็นประโยคเปิดครับ เพราะมีเขา ซึ่งเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบอยู่ ซึ่งเมื่อรู้ว่าเขาเป็นใคร ก็จะเป็นประพจน์

4) ข้อความใดเป็นประพจน์
ก. ประโยคนีเป็นเท็จ
ข. อ่านหนังสือให้จบก่อนจึงค่อยกินข้าว
ค. ตืนนอนเช้าๆ สมองจะได้ปลอดโปร่ง
ง. ขอให้ทุกคนโชคดีในการทําข้อสอบ
----> ข้อนี้เพื่อนผมบอกว่า ข้อ ค. เป็นประพจน์ แต่ผมกลับมองว่าข้อ ค.อาจจะเป็นเรื่องของความรู้สึกก็ได้ เลยไม่น่าจะมีประพจน์ในข้อนี้

ประพจน์คือข้อความที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง ในข้อนี้นั้น เนื่องจากเราทราบว่าไม่จริงเสมอไปที่การตื่นนอนตอนเช้าจะทำให้สมองโปร่ง เพราะถ้านอนดึกมาก ก็ไม่โปร่งแน่ ๆ ดังนั้นประโยคนี้จึงตอบได้ว่าเป็นเท็จ จึงเป็นประพจน์ครับ

5)
ให้ p แทน “นักเรียนชาย”
q แทน “ผู้ทีนุ่งกางเกงขายาว”
r แทน “ผู้ทีได้รับอนุญาตให้เข้ามาในโรงเรียน
ข้อความ “นักเรียนชายทีนุ่งกางเกงขายาว เป็นผู้ได้รับอนุญาตให้เข้ามาในโรงเรียน” เขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ใด
----> ข้อความนี้เพื่อนผมมันเขียนว่า (p^q)->r อ่ะครับ แต่ผมถามเพื่อนว่าทำไม มันก็ตอบกันไม่ได้ ผมเองก็เขียนไม่ถูกเหมือนกัน

รูปแบบ ถ้า ..เหตุ.. แล้ว ..ผล..

เหตุคือเงื่อนไข

ผลคือ สิ่งที่ตามมา

ข้อความข้างต้น อาจจะเขียนใหม่ได้ว่า ถ้านักเรียนผู้ชายคนใดนุ่งกางเกงขายาวแล้วจะได้รับอนุญาตให้เข้ามาในโรงเรียน

[Anupon]

ขอบคุณครับคุณ gon ที่ตอบและให้เหตุมาด้วย

แต่ข้อ 5) ถ้าผมจะเขียนว่า P^Q^R เลยจะได้หรือเปล่าครับ

[poper]

ตามเหตุผลที่คุณ gon ให้ไว้
R เป็นผลที่เกิดจาก P และ Q
ถ้า P^Q^R^ จะเห็นว่า ไม่มีเหตุและไม่มีผลนะครับ

[polsk133]

มพลาดไปแล้วครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anupon

ขอบคุณครับคุณ gon ที่ตอบและให้เหตุมาด้วย

แต่ข้อ 5) ถ้าผมจะเขียนว่า P^Q^R เลยจะได้หรือเปล่าครับ

ข้อ 5. ไม่สามารถเขียนในรูป $p \wedge q \wedge r$ ได้ครับ
เนื่องจากประพจน์ $(p \wedge q) \Rightarrow r$ นั้นไม่สมมูลกับประพจน์ $p \wedge q \wedge r$

มีจุดที่น่าสนใจที่อาจจะชวนให้สับสนนิดหน่อย เกี่ยวกับการใช้ "ถ้า...แล้ว..." กับ "....และ..."
ก็คือเรื่องสับเซต

บทนิยาม เราจะกล่าวเซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกทุกตัวของ B

ซึ่งถ้าเขียนในรูปตรรกศาสตร์ อาจจะเขียนได้ว่า

$\forall x[x \in A \Rightarrow x \in B]$

ซึ่งถ้า $\forall x[x \in A \Rightarrow x \in B] \equiv T$ ก็แสดงว่า $A \subset B$

แต่ถ้า $\forall x[x \in A \Rightarrow x \in B] \equiv F$ หรือ $\exists x[x \in A \wedge x \not\in B] \equiv T$ ก็แสดงว่า $A \not\subseteq B$

ในขณะที่ถ้าเขียนว่า $\forall x[x \in A \wedge x \in B] \equiv T$ อันนี้ไม่ใช่เงื่อนไขที่ทำให้ $A \subset B$.