Partitionon matrix

[ZiLnIcE]

ใครรู้วิธีพิสูจน์partition matrix ช่วยพิสูจน์ให้ดูทีครับ\bmatrix


สมมติให้เมตริก A เป็น เมตริกซ์ 4x4 แล้วแบ่งตามยาวและขวางจะได้เป็น4ส่วน สมาชิก4ของQuadrantที่1เป็น 0ล้วน สมาชิก4ตัวในQuadrantที่2เป็น a,b,c,d สมาชิกQuadrantที่3เป็น0ล้วนและสมาชิก4ตัว Quadrantที่4เป็น w,x,y,z จงพิสูจน์ว่า det(A)= (ad-bc)(wz-xy)

[vatcharasorn...]

ผมว่าใช้row operation ก็พิสูจน์ได้แล้วนะครับ

[M@gpie]

ทำได้โดยหา det ตามปกติเลยครับ
ให้ \(A = \bmatrix{a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & x \\ 0 & 0 & y & z} \)ทำ Row operation ดังนี้
\( ~ \frac{-c}{a}R_1+R_2 \rightarrow R_2 \bmatrix{a & b & 0 & 0 \\ 0 & d -\frac{cb}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & x \\ 0 & 0 & y & z} \)
\( ~ \frac{-y}{w}R_3+R_4 \rightarrow R_4 \bmatrix{a & b & 0 & 0 \\ 0 & d -\frac{cb}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w & x \\ 0 & 0 & 0 & z -\frac{yx}{w}} \)
จะได้ว่า \( det(A) \) คือผลคูณเส้นทแยงมุมหลัก เมื่อ A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม
ดังนั้น \( det(A) = a(d - \frac{cb}{a})w(z-\frac{yx}{w}) = (ad-cb)(zw-xy)\) ตามต้องการ

[gon]

กระจายตามแถวหนึ่ง $|A| = a_{11}C_{11}{A} + a_{12}C_{12}(A) + a_{13}C_{13}(A) + a_{14}C_{14}(A)$

$=\bmatrix{a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 &w & x \\ 0 & 0 & y & z}$
$= a\bmatrix{d & 0 & 0 \\ 0 & w & x \\ 0 & y & z} - b\bmatrix{c & 0 & 0 \\ 0 & w & x \\ 0 & y & z}$
$= a(dwz - dxy) - b(cqz - cxy)$
$= ad(wz-xy) - bc(wz-xy)$
$= (ad-bc)(wz-xy) \, $
$\fbox{End}$

[ZiLnIcE]

ขอบคุณทุกท่านมากครับ

[warut]

จริงๆแล้วอันนี้มันเป็นกรณีพิเศษของสูตรต่อไปนี้ครับ
$$\det \pmatrix{A&B\\0&D} =(\det A)(\det D)$$
โดยที่ block $A,B,D$ แต่ละอันเป็น square matrix ขนาดเดียวกันกับ zero matrix $0$

ป.ล. ถ้าทำอย่างคุณ M@gpie ต้องระวังนิดนึงในกรณีที่ $a=0$ ด้วยนะครับ

[nooonuii]

กรณีทั่วไปครับ

ให้ A,B,C,D เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $n \times n$ และ \( \displaystyle{ M = \bmatrix{A & B \\ C & D}} \) เป็นเมทริกซ์ขนาด $2n\times 2n$

(1) ถ้า AB = BA จะได้ว่า $det(M) = det(DA - CB)$
(2) ถ้า AC = CA จะได้ว่า $det(M) = det(AD - CB)$
(3) ถ้า BD = DB จะได้ว่า $det(M) = det(DA - BC)$
(4) ถ้า CD = DC จะได้ว่า $det(M) = det(AD - BC)$

และ

(5) ถ้าทุกคู่ของเมทริกซ์สลับที่ซึ่งกันและกันภายใต้การคูณ เราจะได้ว่า

$det(M) = det(AD - BC)$

การพิสูจน์อาจจะต้องใช้พวก Alternating multilinear function ครับ