ช่วยอินทิเกรตตรีโกณมิติอันนี้ให้หน่อยค่ะ

[seiko22]

ช่วยอินทิเกรตตรีโกณมิติอันนี้ให้หน่อยค่ะ
งงมาก ไม่รู้ทำยังไง

integral 1/(1-cosec x) dx ค่ะ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

$\frac{1}{1-cosec x}= -tan^2x $ ต่อจากนั้นลองคิดดูต่อนะครับ

[seiko22]

ไม่ทราบว่า มีวิธีทำให้ดูไหมคะ
พอดีทำแล้วได้ คำตอบไม่เท่าค่ะ...ขอบคุณค่ะ

[poper]

คำตอบคือ $-tanx+x$ ครับ

[PP_nine]

ขั้นแรกลองจัดรูปให้เศษส่วนมันง่ายขึ้น

$\dfrac{1}{1-\csc x}=\dfrac{\sin x}{\sin x -1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{\sin x}{\sin x -1} \cdot \dfrac{\sin x+1}{\sin x+1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{\sin ^2x+\sin x}{-\cos ^2x}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=-\tan ^2x-\dfrac{\sin x}{\cos ^2 x}$

ก้อนหลังน่าจะมองออกแล้ว ส่วนก้อนหน้าต้องลดรูปอีกนิดหน่อยครับ
$$\int \tan ^2x \, dx=-\int \dfrac{\sin x}{\cos ^2x} \, d(\cos x)=\int \sin x \, d \Big( \dfrac{1}{\cos x} \Big)$$
ตรงนี้ใช้ by parts เอาครับ แล้วมันจะออกทันที
_____________________________________________

ว้า โดนคุณ poper เฉลยตัดหน้าแป๊บเดียวเอง

[seiko22]

ข้อนี้ตอบ
tan x -x + cos x + c ใช่ไหมคะ
เพราะหาคำตอบได้แบบนี้ ถ้าไม่ใช่แล้วทำยังไง ถึงจะได้แค่ tan x - x คะ

[seiko22]

แล้วทำไมพจน์หลังถึงหายไปคะ...

[poper]

ต้องขอโทษทีครับ ผมคิดผิด

มันต้องเป็นแบบนี้ครับ

$\int\frac{1}{1-cosecx}dx=\int(-tan^2x-\frac{sinx}{cos^2x})dx$

$=-tanx+x+\frac{1}{cosx}+C$ ครับผม

ปล. ที่คุณ กระบี่ทะลวงด่านให้มาว่า $\frac{1}{1-cosecx}=-tan^2x$ ไม่ถูกต้องนะครับ

[seiko22]

ขอบคุณค่ะ สำหรับคำตอบนะคะ