|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยแก้โจทย์ Topology ให้ทีครับ
1.ให้ $X=\left\{x\in R^2|x_1^2+x_2^2=1\,\right\} $ เป็นเซตของจุดในวงกลมที่รัศมี $1$ หน่วย (จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด) $d:X\times X\rightarrow R$ กำหนดโดย
\[ d(x,y) = \left\{\matrix{ 0 & , x = y\\ ความยาวของเส้นโค้ง xy เส้นสั้น & , x \not= y}\right.\] จงพิสูจน์ว่า $d$ เป็นเมตริกบน $X$ |
#2
|
||||
|
||||
2.ให้ $Z$ เป็นเซตของจำนวนเต็ม $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า $m,n\in Z$ โดยที่ $m\not= n$ แล้วมี $t\in Z$ เพียงตัวเดียวที่ $m-n=p^tk$ โดย $k\in Z$ และ $p$ หาร $k$ ไม่ลงตัว
$$กำหนดฟังก์ชัน d:Z\times Z\rightarrow R$$ โดย \[d(m,n) = \left\{\matrix{0 & , m=n\\ \frac{1}{p^t} & , m\not= n}\right.\] จงพิสูจน์ว่า $(Z,d)$ เป็นเมตริกสเปซ |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
[ M1 ] $ d(x,y) \geqslant 0 $ Obvious. [ M2 ] $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ Obvious. [ M3 ] $ d(x,y) = d (y,x)$ Obvious. [ M4 ] $d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$ Let $z = (z_{1},z_{2}) \in R^{2}$ Case 1 : If $z$ lies on the short curve between two points x and y then $d(x,y) = d(x,z) + d(z,y)$. Case 2 : If $z$ does not lie on the short curve between two points x and y then $d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$. Thus $d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$. This shows that d is a metric on X
__________________
เรียวคุง 09 มกราคม 2013 02:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ เรียวคุง |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$k \in Z$ and $ p \not| k$ So, we have $ \frac{1}{p^{t_{1}}} = \frac{k}{m-n} = d(m,n) $ [M1] $d(m,n) \geqslant 0$ Obvious. [M2] $d(m,n) = 0 \Leftrightarrow m=n$ Obvious. [M3] $d(m,n) = d(n,m)$ Obvious. [M4] $d(m,n) \leqslant d(m,r) + d(r,n)$ Let $r \in Z $ s.t. $r \not= m \not= n.$ Then $ \exists ! t_{2} \in Z$ s.t. $ m -r = p^{t_{2}}k$ ----(1) and $ \exists ! t_{3} \in Z$ s.t. $ r -n = p^{t_{3}}k$ -----(2) (1) +(2) yields, $m - n = k(p^{t_{2}} + p^{t_{3}})$ or $\frac{k}{m-n} = \frac{1}{p^{t_{2}} + p^{t_{3}}} $ Thus, $d(m,n) = \frac{1}{p^{t_{1}}} = \frac{k}{m-n} = \frac{1}{p^{t_{2}} + p^{t_{3}}}\leqslant \frac{1}{p^{t_{2}}} + \frac{1}{p^{t_{3}}} = d(m,r) + d(r,n) $ This shows that d is a metric on Z. Hence, $(Z,d)$ is a metric space.
__________________
เรียวคุง 09 มกราคม 2013 02:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ เรียวคุง |
#5
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณเรียวคุงมากๆครับ
|
#6
|
||||
|
||||
3.ให้ $d$ เป็นยูชวลเมตริกบน $R$ และให้ $I_n= (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n} ) $ สำหรับทุก $n\in N$ จงพิสูจน์ว่า $\bigcap_{n = 1}^{\infty}I_n = [0,1]$ และ $[0,1]$ ไม่เป็นเนอบร์ฮูดของแต่ละจุดใน $[0,1]$
4.จงพิสูจน์ว่าโคลเชอร์ $\bar A $ ของ $A\subseteq X $ เมื่อ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซคือเซตของจุดที่ระยะจากจุดนั้นไปยัง $A$ เท่ากับศูนย์ นั่นคือ $\bar A =\left\{x|d(x,A)=0\,\right\} $ 5.ให้ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซ $A,B$ เป็นสับเซตของ $X$ ที่ $A,B$ เป็นเซตปิด และ $A\cap B = \phi$ จงพิสูจน์ว่ามีเซตเปิด $G,H$ ใน $X$ ที่ $A\subseteq G,B\subseteq H$ และ $G\cap H=\phi$ 6.ให้ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซ และ $A$ เป็นสับเซตของ $X$ แล้วจงพิสูจน์ว่า $$X-\bar A =Int (X-A)$$ ขอความกรุณาด้วยครับ อ่านนิยาม กับ ทฤษฏีบท หลายรอบแล้วแต่ก็ยังไม่รู้จะเริ่มต้นยังไงอ่ะครับ ใกล้สอบแล้วด้วยครับ ขอบพระคุณอย่างสูงครับ 09 มกราคม 2013 16:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pattern&Math |
#7
|
||||
|
||||
สำหรับข้อนี้ผมอยากทราบความแตกต่างของแต่ละข้อย่อยอ่ะครับว่ามันต่างกันอย่างไรบ้าง
จากฟังก์ชัน $d$ ที่กำหนดในข้อข้างล่างนี้ จงพิสูจน์ว่าข้อใด $d$ เป็นเมตริกบน $R$ 1.$d(x,y)=\left|x-y\,\right|^2 $ 2.$d(x,y)=\left|x-y\,\right|^3 $ 3.$d(x,y)=\left|x^2-y^2\,\right| $ 4.$d(x,y)=\left|x^3-y^3\,\right| $ ขอความกรุณาด้วยครับ |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ข้อ 3. พิจารณา sequence ของช่วง $I_{n} $ลองใช้คุณสมบัติที่ว่า $I_{n} เป็น ~decreasing ~~sequence ดูครับ ส่วน nbhb ให้ลองพิจารณาที่จุดขอบของช่วง $[0,1]$ ครับ \\ ข้อ 4. ลองแยก case1,2 (A -closed, open) ต่อจากนั้นใช้นิยามที่ว่า $$ \bar A = A \cup \{x | x \ is \ accumulation points of \ A \} $$ และ $$\bar A $$ is closed. \\ ถ้า $d(x,A) > 0$ แล้ว $$ \bar A $$ isn't closed. \\ ข้อ 5. พิจารณา $$A = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} \} $$ ,~~~ $$B = \breve B (y_{0},r_{2}) = \{ y \in X | d(y,y_{0}) < r_{2} \} $$ และ $$ A \cap B = \varnothing $$ เราสามารถเลือก \\ $$C = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} + \varepsilon \} $$ ได้ \\ ข้อ 6. แยก case 1,2 ( $A $ is closed, open ) แล้วพิสูจน์สับเซต ขาไปขากลับ ขากลับน่าจะง่าย ส่วนขาไปลองพิสูจน์แบบขัดแย้งดูครับ
__________________
เรียวคุง 10 มกราคม 2013 17:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ เรียวคุง |
#9
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
1. เชค $d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$ ให้ $x,y,z \in R$ $$d(x,y) = |x-y|^{2} = (x-y)^{2} \leqslant (x-z)^{2} + (z-y)^{2} ~~~ ? $$ ตอบแบบเข้าใจงูๆปลาๆครับ ข้อไหนผิดรบกวบท่านผู้รู้มาชี้แจงอีกทีครับ
__________________
เรียวคุง 10 มกราคม 2013 23:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ เรียวคุง |
#10
|
||||
|
||||
ขอบคุณ คุณเรียงคุงอีกครั้งครับ
|
#11
|
||||
|
||||
แต่ในหนังสือที่ผม อ่านเขาใช้วิธีเช็คแบบนี้ครับ $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ครับ มันเหมือนกันไหมอ่ะครับ
|
#12
|
||||
|
||||
ถ้าเช็คแค่ 4 ข้อมันจะเป็นเมตริก เที่ยม เราต้องเช็คให้ครบทั้ง 5 ข้อหรือเปล่าครับ ขาดข้อที่ว่า $d(x,x)=0$ ไปอ่ะครับ
|
#13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$B = \breve B (y_{0},r_{2}) = \{ y \in X | d(y,y_{0}) \leqslant r_{2} \} $$ ผมงงตรงต่อจากนี้ไปอ่ะครับ เราต้องกำหนดอะไรเพิ่มเติมอีกหรือเปล่าครับ แล็วก็ $$C = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} + \varepsilon \} $$ \\ มาได้ยังไงอ่ะครับ ?? 10 มกราคม 2013 18:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pattern&Math |
#14
|
|||
|
|||
เหมือนกันครับ
__________________
เรียวคุง |
#15
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
พิจารณาขากลับ แทน $y=x $ จะได้ว่า $ x = x \Rightarrow d(x,x) = 0 $
__________________
เรียวคุง |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ช่วยพิสูจน์เรื่อง topology ด้วยครับ ยังไม่ได้คำตอบเลย | แมท เทพ | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 5 | 20 เมษายน 2011 22:31 |
ถามปัญหา topology เบื้องต้นหน่อยครับ | phoneee | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 2 | 19 กุมภาพันธ์ 2010 13:52 |
Topology 2 ข้อ ช่วยทำหน่อยคะ | meezcooter | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 1 | 03 ธันวาคม 2008 09:46 |
topology เกี่ยวกับเซตปิด | chaitung | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 10 พฤศจิกายน 2006 00:27 |
|
|