ตรีโกณมิติครับ cot9(...)

[legendaryfool]

จงหาค่าของ $cot 9\left(\frac{1}{cot 9-3tan9}+\frac{3}{cot 27-3tan27}+\frac{9}{cot 81-3tan81}+\frac{27}{cot 243-3tan243}\right)$
เอามาจากชมรมเลขครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ legendaryfool

จงหาค่าของ $cot 9\left(\frac{1}{cot 9-3tan9}+\frac{3}{cot 27-3tan27}+\frac{9}{cot 81-3tan81}+\frac{27}{cot 243-3tan243}\right)$
เอามาจากชมรมเลขครับ

Big_Hint

เนื่องจาก $\frac{1}{\cot A - 3 \tan A} = \frac{\tan A}{1 - 3\tan^2A} ... (*)$

จาก $\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3A}{1 - 3\tan^2A}$

ดังนั้น $3\tan 3A = \frac{9\tan A - 3\tan^3A}{1 - 3\tan^2A} = \frac{8\tan A + \tan A - 3\tan^3A}{1 - 3\tan^2A} = \frac{8\tan A}{1 - 3\tan^2A} + \tan A$

จะได้ $\frac{\tan A}{1 - 3\tan^2A} = \frac{1}{8}(3\tan 3A - \tan A)$