ช่วยหน่อยครับ ลำดับ+อนุกรม+ลิมิต

[Bearfinn]

1. ให้ $a,b,c$ เป็นตัวกลางเลขคณิต เรขาคณิตและฮาร์โมนิกตามลำดับ ระหว่างจำนวนจริงบวก 2 จำนวนที่ไม่เท่ากันแล้ว จงเรียง $a,b,c$ จากน้อยไปหามาก

2. จงหาค่าของ $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2+1}+\sqrt{n^2+3n+1}-3n)$

3. ให้ลำดับอนันต์มี $a_n = \frac{3n^2-2n+1}{5n^{\frac{5}{2}}-10n^{\frac{3}{2}}+4}$ จงบอกว่าเป็นลำดับคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนต์ ถ้าเป็นคอนเวอร์เจนต์ให้บอกลิมิตด้วย

4. จงหาค่าของ $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-1}{n-2}-\frac{n^2+1}{n+2}$

5. ถ้า $\left|\cos\theta\right| \not= 1$ แล้ว $1+\cos^2\theta+\cos^4\theta+\cos^6\theta+\ldots$ เป็นเท่าใด

6. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{k^n}$ มีค่าเท่าใด

7. จงหาค่าของ $\lim_{n \to \infty} \frac{(2n-\sqrt{n^2+4})^2}{(n+1)^2}$

พี่ๆช่วยหน่อยนะครับ อยากรู้วิธีทำด้วย ขอบคุณล่วงหน้าครับ

ขออนุญาตแก้โจทย์ข้อ 7 ครับ TT ขอบคุณทุกคนที่ช่วยหาคำตอบครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bearfinn

1. ให้ $a,b,c$ เป็นตัวกลางเลขคณิต เรขาคณิตและฮาร์โมนิกตามลำดับ ระหว่างจำนวนจริงบวก 2 จำนวนที่ไม่เท่ากันแล้ว จงเรียง $a,b,c$ จากน้อยไปหามาก

สมมติ

$a=\dfrac{x+y}{2}$

$b=\sqrt{xy}$

$c=\dfrac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

เมื่อ $x\neq y$ เป็นจำนวนจริงบวก

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $c<b<a$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bearfinn

7. จงหาค่าของ $\lim_{n \to \infty} \frac{2n-\sqrt{n^2+4^2}}{(n+1)^2}$

หารด้วย $n^2$ ทุกเทอม จะได้ลิมิตเท่ากับ $0$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bearfinn

3. ให้ลำดับอนันต์มี $a_n = \frac{3n^2-2n+1}{5n^{\frac{5}{2}}-10n^{\frac{3}{2}}+4}$ จงบอกว่าเป็นลำดับคอนเวอร์เจนต์หรือไดเวอร์เจนต์ ถ้าเป็นคอนเวอร์เจนต์ให้บอกลิมิตด้วย

หารด้วย $n^{5/2}$ ทุกเทอมจะได้ลิมิตเท่ากับ $0$

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bearfinn

2. จงหาค่าของ $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2+1}+\sqrt{n^2+3n+1}-3n)$

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt {4n^2+1}+\sqrt {(n+\frac {3}{2})^2-\frac {5}{4}}-3n)$

$\lim_{n \to \infty} (2n+n+\frac {3}{2}-3n) = \frac {3}{2}$