ข้อสอบ PMWC 2014 (บุคคลแปลไทย+Team Eng)

[gon]

เว็บ chiuchang ยังไม่มานะครับ น่าจะเร็ว ๆ นี้ ข้อสอบประเภทบุคคลฉบับแปลไทยอันนี้มีคนส่งมาให้ครับ.

น่าจะมาจากกลุ่มไลน์ที่ไหนสักกลุ่มครับ.

ผมยังไม่ได้ลองคิดครับ เชิญแก้ได้ตามสะดวก

ข้อ6-9

ข้อ10-12

ข้อ13-15

คำตอบ

1. a=200, b=49, c=11
2. 64
3. 675
4. 6305-4291 = 2014 เป็นต้น
5. 820149
6. 1:91
7. 11:12
8. 23
9. 12023
10. 30
11. $2^{147} \times 6^{49}$
12. 1,2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7
13. 8
14. 8
15. 25.12

[gon]

เพิ่มข้อสอบประเภททีมครับ.

ข้อ2-10

คำตอบ

1. 62
2. 5/3+8/4 = 7/2+1/6 หรือ 5/1+4/8 = 7/2 + 1/6 เป็นต้น.
3. 1235610111
4. 3
5. 367
6. 1,000,125
7. 12
8. 66
9. 112
10. 40

[Uncle Laem]

ข้อที่ 10 คล้ายกับ TME ประถม 6 ปี 2554 ข้อที่ 30

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Uncle Laem

ข้อที่ 10 คล้ายกับ TME ประถม 6 ปี 2554 ข้อที่ 30

มีข้อ 10 บุคคล ซ้ำกับ 7th team ครับ ชอบเอาโจทย์เก่ามาวนหลายครั้ง

[linlyse]

พยายามทำแล้วคะ แต่ไม่สำเร็จ รบกวนช่วยแสดงวิธีคิดข้อ 2,6,8,9 ให้ด้วยคะ ขอบคุณมากคะ

[narongratp]

อ่านไม่ออกก็ขอโทษด้วยครับ

[narongratp]

พยายามแกะลายมือหน่อยนะครับ

[linlyse]

ขอบคุณมากคะ รบกวนข้อ6และ8ด้วยคะ

[narongratp]

.............

[narongratp]

ข้อนี้ ทำไม่เป็นครับ
ลองหาค่าไปเรื่อยๆ จนได้ค่าที่(คิดว่า)ต่ำสุดมั้งครับ

[gon]

ข้อ 8. บุคคล วิธีการแบบเดาคร่าว ๆ รวดเร็วก็คือใช้อสมการโคชี (Cauchy Inequality) ครับ

$\Sigma_{i=1}^n(a^2_i) \cdot \Sigma_{i=1}^n(b^2_i) \ge \Sigma_{i=1}^n(a_ib_i)^2$

โดยจะเป็นสมการเมื่อ $a_i/b_i$ มีค่าเท่ากันหมด

โดยอสมการโคชี เราได้ว่า $(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d) \ge (1+1+1+1)^2 $

ดังนั้น $a+b+c+d \ge 16\times \frac{10}{7} = 22\frac{6}{7}$

และจะเป็นสมการเมื่อ $a = b = c = d = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$

แต่เราทราบว่า $a, b, c, d$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a + b + c + d \ge 23$

โดยถ้ามีผลเฉลยดังกล่าวที่ทำให้ $a+b+c+d = 23$ ค่าของ $a, b, c, d$ ก็ต้องมีค่าเท่า ๆ กันคือราว ๆ 5 ถึง 6 ซึ่งเมื่อลองเกลี่ยดูก็จะได้ผลลัพธ์ที่คุณ narongratp เขียนเอาไว้ครับ.

ข้างบน เอาไว้เดาถ้าไม่มีเวลาคิด

แต่สำหรับวิธีจริง ผมจะเริ่มให้คร่าว ๆ ดังนี้ครับ

โดยไม่เสียนัยทั่วไปจะสมมติให้ $a \le b \le c \le d$

จึงได้ว่า $1/a \ge 1/b \ge 1/c \ge 1/d $

จากโจทย์ จึงได้ว่า $\frac{7}{10} \ge \frac{4}{d}$ แล้ว $d \ge 5\frac{5}{7}$

เราเลือกให้ $d$ น้อยสุดที่เป็นไปได้คือ ให้ $d = 6$ จากนั้นนำไปแทนค่ากลับไปจะได้

$1/a + 1/b + 1/c = 8/15$

จากนั้นทำคล้าย ๆ กันก็จะกระเทาะค่า $c, b, a$ ที่น้อยสุดออกมาตามลำดับได้ครับ

ปล.วิธีนี้ยังนำไปใช้กับโจทย์ สพฐ.ข้อที่ 25 ของปี 2558 รอบที่ 1 ได้ครับ คือโจทย์แนวเศษส่วนแบบนี้ นำไปใช้ได้หมด เช่น อาจจะตั้งโจทย์ว่า จงหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนนับทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $1/a+1/b+1/c = x/y$ ทำนองนี้ครับ.

[narongratp]

ขอบคุณครับ

[akaluck]

ข้อ 3.บุคคล คิดได้ c=675 ไม่แน่ใจว่าถูกเปล่าครับขอคำชี้แนะด้วยครับ

$b+c+d=3c=x^2$ เพราะ c เป็นค่าเฉลี่ยของตัวเลขชุดนี้

$a+b+c+d+e=5c=y^3$ เพราะ c เป็นค่าเฉลี่ยของตัวเลขชุดนี้

จะได้ $c =\frac{x^2}{3} = \frac{y^3}{5}$

นำ $\frac{x^2}{3} = \frac{y^3}{5}$ มาพิจารณ

$x = y\sqrt{ \frac{3y}{5}} $ y ที่มีค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ y=15 ได้ c =675

จะได้
$a=673, b=674, c=675, d=676, e=677$
$b+c+d=2,025=45^2$
$a+b+c+d+e=3,375=15^3$ ประมาณนี้ครับรบกวนผู้รู้ช่วยตรวจสอบด้วยครับว่าถูกต้องเปล่าครับ

[akaluck]

ขอแนวทางการคิดข้อ 10. บุลคลด้วยครับคิดไม่ออก ขอบคุณครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ akaluck

ขอแนวทางการคิดข้อ 10. บุลคลด้วยครับคิดไม่ออก ขอบคุณครับ

ข้อนี้ มีวิธีคิดอยู่หลายแบบครับ ในที่นี้ผมจะแสดงวิธีคิดแบบเซต โดยใช้หลักความจริงที่ว่า

ถ้า $x \ge a$ และ $x \le a$ แล้วจะสรุปได้ว่า $x = a$

โจทย์ให้ $|A| = 90, |B| = 80, |C| = 70, |D| = 60$ โจทย์ต้องการถามว่า $|C \cap D| = ?$

จากสูตร $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ จึงได้ $|A \cup B| = 80 + 90 - |A \cap B|$

แต่ $|A \cup B| \le 100$ ดังนั้น $|A \cap B| \ge 70 $ ... (1)

ในทำนองเดียวกัน จะได้ $|C \cap D| \ge 30 $ ... (2)

นิยาม ให้ ทถ(x) แทน จำนวนคนทำถูก x ข้อเท่านั้น

ความจริงอันประเสริฐก็คือ

ทถ(0) + ทถ(1) + ทถ(2) + ทถ(3) = 100 ... (*)

ทถ(0) = $|A' \cap B' \cap C' \cap D'|$
ทถ(1) = $|A \cap B' \cap C' \cap D'| +|A' \cap B \cap C' \cap D'| + |A' \cap B' \cap C \cap D'| + |A' \cap B' \cap C' \cap D| $
ทถ(2) = $|A \cap B \cap C' \cap D'| + |A \cap B' \cap C \cap D'| $
$+ |A \cap B' \cap C' \cap D| + |A' \cap B \cap C \cap D'| $
$+ |A' \cap B \cap C' \cap D| + |A' \cap B' \cap C \cap D|$
ทถ(3) = $|A \cap B \cap C \cap D'| + |A \cap B \cap C' \cap D| + |A \cap B' \cap C \cap D| + |A' \cap B \cap C \cap D|$

โดยที่ $|A \cap B| = |A \cap B \cap C \cap D'| + |A \cap B \cap C' \cap D| + |A \cap B \cap C' \cap D'|$

$|C \cap D| = |A \cap B' \cap C \cap D| + |A' \cap B \cap C \cap D| + |A' \cap B' \cap C \cap D| $

แต่จาก (1) , เราทราบว่า $|A \cap B| \ge 70 $

ดังนั้นจากสมการ (*) เราได้ว่า $|C \cap D| \le 30 ... (3)$

(ไม่อย่างนั้น จะทำให้ซ้ายมือของสมการ (*) มากกว่า 100)

จากอสมการ (2) และ (3) จึงสรุปได้ว่า $|C \cap D| = 30$ เป็นคำตอบที่ต้องการครับ.

ปล. โจทย์จะซ้ำกับ PMWC2003 ครับ.