อนุกรม+ตรีโกณครับ

[กานรักบัว]

กำหนดให้$0<\alpha ,\beta <\frac{\pi }{2}$และ$tan(\alpha +\beta )=tan(\alpha )+cot(\alpha )+tan(\beta )+cot(\beta )$แล้วอนุกรมอนันต์$1+tan(\alpha )tan(\beta )+tan^2(\alpha )tan^2(\beta )+tan^3(\alpha )tan^3(\beta )+...$ ลู่เข้าสู่ค่าใด

[tngngoapm]

1) จาก.......$tan(\alpha +\beta )=tan\alpha +cot\alpha +tan\beta +cot\beta $
$tan(\alpha +\beta )=tan\alpha +\frac{1}{tan\alpha }+tan\beta +\frac{1}{tan\beta }$
$tan(\alpha +\beta )=\frac{tan^2\alpha +1}{tan\alpha } +\frac{tan^2\beta +1}{tan\beta }$
$tan(\alpha +\beta )=\frac{sec^2\alpha}{tan\alpha } +\frac{sec^2\beta}{tan\beta }$
$\therefore tan(\alpha +\beta )=\frac{2}{sin2\alpha } +\frac{2}{sin2\beta }$
2) จาก.......$tan(\alpha +\beta )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta }$
$1-tan\alpha tan\beta=\frac{tan\alpha +tan\beta}{tan(\alpha +\beta )}$
$tan\alpha tan\beta=1-\frac{tan\alpha +tan\beta}{tan(\alpha +\beta )}$
$tan\alpha tan\beta=\frac{tan(\alpha +\beta )-tan\alpha -tan\beta }{tan(\alpha +\beta )}$
และจาก 1) แทนค่า $tan(\alpha +\beta )$
$tan\alpha tan\beta=\frac{\frac{2}{sin2\alpha}+\frac{2}{sin2\beta }-\frac{1-cos2\alpha }{sin2\alpha }- \frac{1-cos2\beta }{sin2\beta } }{tan(\alpha +\beta )}$
$tan\alpha tan\beta=\frac{\frac{cos2\alpha +1}{sin2\alpha }+\frac{cos2\beta +1}{sin2\beta } }{tan(\alpha +\beta )}$
$tan\alpha tan\beta=\frac{\frac{1}{tan\alpha }+\frac{1}{tan\beta } }{tan(\alpha +\beta )} $
$tan\alpha tan\beta=\frac{\frac{tan\alpha +tan\beta }{tan\alpha tan\beta } }{\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta} } $
$tan\alpha tan\beta=\frac{1-tan\alpha tan\beta}{tan\alpha tan\beta}$
3) จาก 2) ให้ $A=tan\alpha tan\beta$
$A=\frac{1-A}{A}$
$A^2=1-A$
$A^2+A-1=0$
$A=\frac{-1\pm \sqrt{6} }{2} $
แต่........ค่า $A=tan\alpha tan\beta$ และ $0<\alpha ,\beta <\frac{\pi }{2}.....\therefore $ ค่า $A$ เป็น $+$
$\therefore A=\frac{-1+ \sqrt{6} }{2}$
4) ค่า $A=tan\alpha tan\beta<1$
อนุกรมลู่เข้า.... มีผลบวกเป็น......$\frac{1}{1-\frac{-1+ \sqrt{6} }{2}}$
$\frac{2}{3-\sqrt{6} } $

[FranceZii Siriseth]

#2 ลองเช็คดูครับ คำตอบคือ $(\frac{\sqrt5+1}{2})^2$

[tngngoapm]

ใช่ครับ......คุณฟรานซิ สิริเสส(อ่านถูกหรือเปล่าครับ)
ต้องตอบ.......$\frac{2}{3-\sqrt{5} }=(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2$.......ขอบคุนมากครับ