|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์ธรรมดา...ที่ไม่ธรรมดา
สวัสดีครับทุกคนวันนี้ผมมีโจทย์มารบกวนหน่อยครับคิดไม่ออกจริง ๆ โจทย์มีอยู่ว่า
$1$ กำหนดระบบสมการ $\left(\,a^2+a-1\right)\left(\,a^2-a+1\right)=2\left(\,b^3-2\sqrt{5}-1\right)$ $\left(\,b^2+b-1\right)\left(\,b^2-b+1\right)=2\left(\,a^3+2\sqrt{5}-1\right)$ ค่าของ $8a^2+4b^3$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ $1.20$ $2.10\sqrt{5} $ $3.10\left(\,1+\sqrt{5} \right) $ $4.20\sqrt{5} $ $2$กำหนด$z_{1}=1-\sqrt{3}i $และ $z_{2}=-1+\sqrt{3}i $ ถ้ารากที่ $9$ ของ $z_{1}$ คือ $a_{k}$โดยที่ $k=0,1,2,3,...,8$ และ รากที่ $33$ ของ $z_{2}$ คือ $ิb_{m}$โดยที่ $m=0,1,2,3,...,32$ แล้วจะมีจำนวน $a_{k}=b_{m}$ กี่จำนวน $1.0$ $2.1$ $3.2$ $4.3$ |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จะได้ $(a^2-a-1)^2+(b^2-b-1)^2=0$ ลองคิดต่อดูครับ |
#3
|
|||
|
|||
สำหรับข้อ $1$ นะครับผมลองทำได้แบบนี้
จาก $\left(\,a^2+a-1\right)\left(\,a^2-a+1\right)=2\left(\,b^3-2\sqrt{5}-1\right) $ จะได้ $a^4-\left(\,a-1\right)^2 =2b^3-4\sqrt{5}-2..........\left(\,1\right)$ และจาก $\left(\,b^2+b-1\right)\left(\,b^2-b+1\right)=2\left(\,a^3+2\sqrt{5}-1\right) $ จะได้ $b^4-\left(\,b-1\right)^2 =2a^3+4\sqrt{5}-2..........\left(\,2\right) $ นำ $(1)-(2);(a^4-b^4)-\left[\,(a-1)^2-(b-1)^2\right]=-2(a^3-b^3)-8\sqrt{5}$ $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)-(a-1-b+1)(a-1+b-1)+2(a-b)(a^2+ab+b^2)+8\sqrt{5}=0$ $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)-(a-b)(a+b-2)+2(a-b)(a^2+ab+b^2)+8\sqrt{5}=0$ ต่อจากนี้ผมไปต่อไม่ถูกเลยครับ ไม่น่าจะแยกตัวประกอบหาค่า $a,b$ ได้เลย แต่ผมลองกดเครื่องคิดเลขแล้วได้คำตอบคือ $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}และb=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ เราจะได้$8a^2+4b^3=20$ แต่ผมนึกไม่ออกเลยว่าค่า $a,b$ จะออกมาเป็นตัวเลยสองตัวนี้ได้ยังงัย อีกอย่างครับข้อนี้อยู่ในโจทย์เรื่องจำนวนเชิงซ้อน ผมก็ยังมองไม่ออกอีกว่าข้อนี้ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อนยังงัย รบกวนด้วยนะครับ |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แต่เอาจริง ๆ ผมไม่ได้ใช้ความรู้ในบทนั้นเลย หรืออาจจะมีวิธีอื่นที่ใช้ได้ แต่ผมไม่ได้ใช้ครับ |
#5
|
|||
|
|||
สำหรับข้อ $2$
$z_{1}=1-\sqrt{3}i=2(cos(\frac{5\pi }{3})+isin(\frac{5\pi}{3} ))$ ดังนั้น $a_{k}=2^{\frac{1}{9} }(cos(\frac{(6k+5)\pi }{27})+isin(\frac{(6k+5)\pi }{27} ));k=0,1,2,...,8$ และ $z_{2}=-1+\sqrt{3}i=2(cos(\frac{2\pi }{3})+isin(\frac{2\pi}{3} ))$ ดังนั้น $b_{m}=2^{\frac{1}{33} }(cos(\frac{(6m+2)\pi }{99})+isin(\frac{(6m+2)\pi }{99} ));m=0,1,2,...,32$ เนื่อจาก $2^\frac{1}{9}\not= 2^\frac{1}{33}$ ดังนั้นจึงไม่มี $a_{k}=b_{m}$ เลย ผมเข้าใจถูกหรือป่าวครับ? 20 กันยายน 2017 21:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Taungli |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
|
|