#1
|
|||
|
|||
ปริมาตร
เราสามารถพิสูจน์ได้อย่างไรว่า
ปริมาตรปริซึมหรือกรวยมีค่าเป็น 1/3 * พื้นที่ฐาน * สูง และ ปริมาตรทรงกลมเป็น 4/3* pi * r^3 |
#2
|
|||
|
|||
ถ้าเป็นตอนนี้ นึกได้วิธีเดียวคือการ integrate ครับ
รวมพื้นที่เข้าด้วยกัน มันก็จะกลายเป็นปริมาตรครับ แต่คุ้น ๆ ว่าเคยเห็นวิธีอื่น ๆ เช่น เรขาคณิตนะครับ |
#3
|
||||
|
||||
ยังไม่ได้คิดหาวิธีทางเรขาคณิตเช่นกัน ใช้แต่ Calculus
ปริมาตรของปิรามิด จากรูป ให้ A(h) เป็นพื้นที่หน้าตัดของปิรามิดที่ระยะความสูง h ใดๆ (วัดจากจุดยอดลงมา) เป็นปิรามิด รูปหน้าตัดจึงเป็นรูปคล้าย ที่จุดสมนัยกันอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน \ A(h) ต h2 หรือ A(h) = k h2 ปริมาตรของปิรามิด = 0๒H A(h) dh = 0๒H k h2 dh = kH3 / 3 = (1/3) * kH2 * H = (1/3) * พื้นที่ฐาน * สูง
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#4
|
|||
|
|||
พี่ TOP ครับ ขอคำอธิบายเพิ่มเติมหน่อยครับ
|
#5
|
|||
|
|||
ผมว่า ถ้าเป็นปิรามิดฐาน 4 เหลี่ยมจัตุรัสนี่ คิดกันได้ไม่น่าจะยากนะครับ (คิดจาก integrate นั่นแหละ) จากนั้น เราก็พิจารณาในกรณีของปิรามิดที่มีรูปหน้าตัดใดๆโดยตัดมันเป็นปิรามิดฐาน 4 เหลี่ยมจัตุรัสอันเล็กๆ มันก็น่าจะได้นะ
หยั่งงี้ง่ายกว่ามั้ยครับ |
#6
|
||||
|
||||
คิดว่าความยากง่ายพอๆกันครับ เพราะการหาปริมาตรของปิรามิดที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยการอินทิเกรตจะใช้วิธีเดียวกันกับที่ผมใช้
สำหรับคำอธิบายเพิ่มเติมในส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกับ Calculus ขอให้ลองไปพิจารณาทฤษฏีบทต่อไปนี้ (ไปหาวิธีพิสูจน์นั่นแหละ)
ปริมาตรทรงกลมเรามาดูวิธีการหาปริมาตรทรงกลมที่อาร์คิมิดิสใช้กันดีกว่า วิธีที่เขาใช้ก็เป็นการอินทิเกรตอีกรูปแบบหนึ่ง สมมติให้ทรงกลมที่ต้องการหามีรัศมี r สร้างรูปทรงกระบอกและรูปทรงกรวยมาล้อมรอบทรงกลมของเรา (จากรูปเป็นภาพหน้าตัด ถ้าเราหมุนสี่เหลี่ยม NABS และสามเหลี่ยม NCS รอบแกน NS จะได้รูปทรงกระบอกและรูปทรงกรวยตามลำดับ ) ตัดวัตถุทั้งสามตามแนวที่ได้แรเงาไว้ ตำแหน่งที่ตัดมีระยะห่างจากจุด N เป็น x และความกว้างของแถบที่แรเงาคือ Dx จะได้ปริมาตรโดยประมาณตามแนวที่ตัดออกมา แบ่งตามวัตถุทั้งสามได้ดังนี้
(px(2r - x) Dx + px2 Dx) 2r = 4pr2x Dx = 4 x(pr2 Dx) จะสังเกตได้ว่าผลรวมของโมเมนต์ที่ได้เป็น 4 เท่าของโมเมนต์ของชิ้นที่มาจากทรงกระบอก (ชิ้นนี้ยังวางไว้ที่เดิม ไม่ได้เคลื่อนย้ายไปไหน) รอบจุด N เช่นกัน หากเราทำการตัด เริ่มจากตำแหน่ง N ไปจนถึง S โดยให้ได้ Dx มีขนาดเล็กมากๆ และเคลื่อนย้ายเฉพาะชิ้นที่เป็นของทรงกลมและทรงกรวยไปวางไว้ที่ตำแหน่ง T จะได้ว่า 2r (ปริมาตรทรงกลม + ปริมาตรทรงกรวย) = 4r (ปริมาตรทรงกระบอก) หมายเหตุ: เนื่องจากชิ้นส่วนของวัตถุทรงกระบอกยังวางไว้ที่เดิม การคิดโมเมนต์ของทรงกระบอก จึงคิดจากจุดศูนย์กลางมวล เนื่องจาก อาร์คิมิดิส ได้คิดมาก่อนหน้านี้แล้วว่า ปริมาตรทรงกรวย = 8pr3 / 3 และ ปริมาตรทรงกระบอก = 2pr3 แทนค่าลงไปจะได้ 2r (ปริมาตรทรงกลม + 8pr3 / 3) = 8pr4นั่นคือ ปริมาตรทรงกลม = 4pr3 / 3 สิ่งที่อาร์คิมิดิสค้นพบอีกอย่างนั่นคือ หากทรงกระบอก ทรงกลม และทรงกรวยมีเส้นผ่านศูนย์กลางและความสูงเท่ากัน จะได้ว่า ปริมาตรทรงกระบอก : ปริมาตรทรงกลม : ปริมาตรทรงกรวย = 3 : 2 : 1 ช่างสวยงามอะไรเช่นนี้ !!!
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 02 ตุลาคม 2001 10:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#7
|
||||
|
||||
วารสารฉบับเดือนตุลาคมของ NRICH Online Maths Club มีลงเรื่องปริมาตรของปิรามิดและทรงกรวยด้วยแฮะ สงสัยออกบทความเพื่อมาตอบคำถามของเว็บเรา ใครสนใจก็ไปอ่านกันได้ที่ Volume of a Pyramid and a Cone
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#8
|
|||
|
|||
เข้าใจแล้วครับ
ขอบคุณครับ 19 กุมภาพันธ์ 2002 14:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pich |
#9
|
|||
|
|||
พี่ Top ครับ การอินทิเกรตที่พี่ใช้กับทรงกลมนั้นมันดูคล้ายๆกับวิธีของ Disks and Washers นะครับไม่ทราบว่าวิธีเดียวกันหรือเปล่าครับ
|
#10
|
||||
|
||||
ใช่แล้วครับ px (2r - x) Dx ก็คือปริมาตรทรงกระบอกที่มี ึx(2r - x) เป็นค่ารัศมีนั่นเอง
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
|
|