โจทย์เมื่อ 60 ปีที่แล้ว

[Catt]

เป็นโจทย์ที่เก่ามาก(ถ้าเป็นคนก็คงเกษียณแล้ว) แต่ก็ยังมีดีพอที่จะให้ความสนใจ เหมาะนักเรียนม.3และม.ปลาย
ให้ P(x) เป็นพหุนามที่มัสัมประสิทธิเป็นจำนวนเต็มทั้งหมด ซึ่ง P(0) และ P(1) เป็นจำนวนเต็มคี่
จงพิสูจน์ว่า สมการ P(x)=0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม

[Hell]

ถ้าสมมุติให้ P(x) แยกตัวประกอบเป็นจำนวนเต็มได้
P(x)=Q(x)*(x-a)
โดย Q(x)=x^n-1+b_n-2x^n-2+...+b₁x+b₀

จะได้ P(x)=xⁿ+(b_n-2-a)x^n-2+...+(b₀-b₁*a)x-b*a

P(0) เป็นจำนวนคี่ คือ b₀ และ a เป็นจำนวนคี่ทั้งคู่
P(1)=1+(b_n-2-a)+(b_n-3-b_n-2*a)+...+(b₀-b₁*a)-b₀a
=1+S_k=0^n-2b_k-a*(1+S_k=0^n-2b_k)
=(1-a)*(1+S_k=0^n-2b_k)
แต่ 1-a เป็น จำนวนคู่ ดังนั้น P(1) ยังไงก็ไม่มีทางเป็นจำนวนเต็มคี่เหมือนโจทย์ สรุปว่าไม่มี จำนวนเต็มไดๆที่ทำให้ P(x)=0

[Catt]

ขอบคุณคุณ Hell ที่ทำให้เห็นอีกวิธีนะค่ะ
ข้อนี้ค่อนข้างไม่ตายตัวในเรื่องวิธีทำ
เลยจะขอเฉลยให้น้องๆได้อ่านกับอีก 2 วิธีล่ะกัน
แต่ก็ยังคงเป็นแนวเด๊ยวก็ที่คุณ Hell ทำคือการหาข้อขัดแย้ง
1. สมมติว่ามีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ P(k)=0
ให้ P(x)=Sigma(a_i*x^i) ตั้งแต่ 0 ถึง n
จากP(0) เป็นเลขคี่ ดังนั้น a_0 เป็นเลขคี่
จึงได้ว่า k ต้องเป็นเลขคี่ (เพราะถ้าเป็นเลขคู่ค่าจะเป็นเลขคี่ ซึ่งจะไม่เท่ากับ 0)
จากP(1) เป็นเลขคี่ ดังนั้น a_i โดย i=1,2,3,...,n
จะเป็นจำนวนคี่อยู่คู่ตัว ดังนั้นทำให้ค่าของ P(k) เป็นเลขคี่เสมอ จึงไม่มีทางเป็น 0 ดังนั้นจึงเกิดข้อขัดแย้ง

ไว้อีกวิธีจะมาเฉลยทีหลัง

[Catt]

สมมติว่ามี x ที่ทำให้ P(x)=0
ถ้าxเป็นคี่จะได้ว่า P(x)-P(1) ต้องหารลงด้วย x-1 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ถ้าxเป็นคู่จะได้ว่า P(x)-P(0) ต้องหารลงด้วย x ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้นไม่มี x ที่ทำให้ P(x)=0