|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ดูให้ด้วยครับบบบ
ทำไม
${(1+ \frac{x}{n})}^n = 1+x+\frac{n(n+1)}{2}\frac{x^2}{n^2}\dots>\frac{x^2}{4} and \frac{x^3}{27}$ ช่วยดูให้ด้วยนะครับบ ว่าทำไมถึงมากกว่า |
#2
|
|||
|
|||
ดูเฉลยของ nooonuii เองก็แล้วกันนะครับ.... รบกวน Screen คำถามด้วย ไม่อย่างนั้นคนอ่าน คนตอบ อาจจะเบื่อที่จะช่วยตอบนะครับ
10 ตุลาคม 2008 08:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คุณชายน้อย |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
${(1+ \frac{x}{n})}^n = 1+x+\dfrac{n(n-1)}{2}\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\dfrac{x^3}{n^3}+\cdots$ เนื่องจาก $x\geq 0$ จึงเพียงพอที่จะแสดงว่า $\dfrac{n(n-1)x^2}{2n^2}\geq \dfrac{x^2}{4}$ $\dfrac{n(n-1)(n-2)x^3}{6n^3}\geq \dfrac{x^3}{27}$ ซึ่งก็เำพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $\dfrac{n(n-1)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{4}$ $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\geq \dfrac{1}{27}$ แต่ $\dfrac{n(n-1)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{4}$ สมมูลกับ $\dfrac{n-1}{n}\geq \dfrac{1}{2}$ $2n-2\geq n$ $n-2\geq 0$ $n\geq 2$ และ $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\geq \dfrac{1}{27}$ สมมูลกับ $\dfrac{(n-1)(n-2)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{9}$ $9(n-1)(n-2)\geq 2n^2$ $9n^2-27n+18\geq 2n^2$ $7n^2-27n+18\geq 0$ $(n-3)(7n-6)\geq 0$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริงจากข้อสมมติ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
|||
|
|||
nooonuii เฉลยได้ดี แต่อย่าลืมไปนะครับโจทย์เป็น Binomial ดังนั้น n เป็นจำนวนเต็มบวก เงื่อนไขการมีคำตอบของ nooonuii ยังมี Error อยู่ครับ ลองดู Source เผื่อมี Idea ในการ Simplify โจทย์
|
#5
|
|||
|
|||
binomial ตัวยกกำลังเป็นจำนวนจริงก็ได้ครับ และเป็นได้แม้กระทั่งจำนวนเชิงซ้อน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$$(n-1)! = \Gamma (n) = \int_{0}^{\infty}\,{t}^{n-1} {e}^{-t} dt $$ OK... โจทย์กระจายพจน์ที่ 3 ผิด และ n เป็นจำนวนทุกจำนวน เพราะ $n! = \infty i = Complex Infinity $ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มลบ จึงทำให้เงื่อนไขเป็นจริงอยู่ 11 ตุลาคม 2008 23:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ คุณชายน้อย |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลองดูนิยาม binomial ที่สร้างโดยนิวตันได้ที่นี่ครับ Binomial series
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ... แต่อย่าลืมนะครับ Combination $ \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! r!}$ ซึ่งมีการคำนวณฟังก์ชันแฟคทอเรียล โดยใช้ แกมม่าฟังก์ชัน $ \Gamma (n)$ และ $ \Gamma (n)$ หาค่าไม่ได้ที่ n = -1,-2,-3,... นะครับ แต่ถ้าขยาย Domain ออกไปที่ Complex จะได้คำตอบของ
$$(-1)! = (-2)! = (-3)! = ... = Complex Infinity $$ ดูเพิ่มเติม..... ผมว่าเราเข้าใจเนื้องานในกระทู้นี้ดีทั้งคู่ กลัวว่าคนอื่นจะอึดอัด... เพราะจะลงลึก... จะสับสนเสียเปล่า OK.... นะครับ (Enough it?) |
#9
|
|||
|
|||
สิ่งที่ผมอยากจะสื่อให้คุณชายเข้าใจคือ generalization ของ factorial กับ binomial นั้นไม่เหมือนกันครับ
generalization ของ factorial คือ Gamma function ตามที่คุณชายเข้าใจครับ แต่ generalization ของ binomial coefficient ที่นิยามโดยนิวตันนั้นแตกต่างออกไป ผมขอยกข้อความจาก wikipedia มาอ้างนะครับ $$(1+x)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k} x^k $$ ซึ่งเรานิยาม $$\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!} $$ จะเห็นว่าจากนิยามเราสามารถให้ $\alpha$ เป็นจำนวนจริง(หรือจำนวนเชิงซ้อน)ใดๆ แต่ $k$ ต้องให้เป็น จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ซึ่งสามารถใช้ factorial แบบธรรมดาได้ เราจึงไม่จำเป็นต้องใช้ gamma function แต่อย่างใด ขออภัยเจ้าของกระทู้ที่ลากยาวมาไกลขนาดนี้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ.... ความเป็น generalization มันไม่เหมือนกันจริง ๆ ผมนั่งคิดอยู่ตั้งนาน ผมสับสนอะไร!!! เช่นเมื่อก่อน 0! = 1 เป็นทฤษฎีหรือนิยาม แน่นอนคำตอบก็คือนิยาม (นั่นมันตอนเด็ก ๆ) แต่พอมาหลัง ๆ generalization งานบ่อย ๆ ก็เลยบอกมันว่าเป็นทฤษฎีเฉยเลย เพราะเป็นกรณีหนึ่งของแกมม่าฟังก์ชันเมื่อ n = 1 เช่นเดียวกันผมไป generalization ของ Binomial ก่อนที่จะไปดูนิยามของ Binomial ที่แท้จริง ... ก็เลยติดยึดกับ factorial ครับ <---- น้อง ๆ ดูไว้นะครับ เป็นตัวอย่างการคิดที่ไม่ดีจริง ๆ .............
|
#11
|
|||
|
|||
ผมก็เคยคิดแบบเดียวกับคุณชายนี่แหละครับ
ผมว่าไม่ใช่เรื่องผิดพลาดแต่อย่างใด เพราะเราคุ้นเคยว่า $$\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$ ก็เลยคิดไปทาง factorial ซึ่งก็ make sense แต่ newton กลับมองไปอีกแบบ ซึ่งก็ต้องยอมรับว่าแบบของ newton ใช้งานได้ดีกว่า และตรงตามจุดประสงค์การใช้งานคือ generalization ของ ทฤษฎีบททวินาม ____________________________________________ ผมเคยพยายาม generalize factorial function ด้วย แต่ไม่ได้เป็น Gamma function อย่างที่เขาใช้กันนะครับ คิดแบบจินตนาการไปเรื่อย ตามกรอบความรู้ที่เรามี แต่บางครั้งเราต้องกลับมามองที่จุดประสงค์การใช้งานของมันด้วย ซึ่งสิ่งนี้อาจจะทำให้สิ่งที่เราฝันสลายไปในบัดดล
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|