ช่วยคิดหน่อยครับ

[POSN_Psychoror]

จงหา $n\in \mathbb{N} $ ซึ่งทำให้
1. $x^2+x+1\left.\,\right| x^{2n}+x^n+1$
2. $37 \left.\,\right| 1 \underbrace{0 \cdots 0}_{n} 1 \underbrace{0 \cdots 0}_{n} 1$

[Julian]

ตามที่ผมคิดได้อ่ะครับ

ข้อแรก - n=2,4,6,8,... คือจำนวนคู่ทั้งหมด แล้วก็ 1 อีกตัวนึงอ่ะครับ

ข้อสอง - n=1 , 3 ,5,7,9,... คือจำนวนคี่ทั้งหมด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ POSN_Psychoror

จงหา $n\in \mathbb{N} $ ซึ่งทำให้
1. $x^2+x+1\left.\,\right| x^{2n}+x^n+1$
2. $37 \left.\,\right| 1 \underbrace{0 \cdots 0}_{n} 1 \underbrace{0 \cdots 0}_{n} 1$

1. ให้ $\omega$ เป็นรากของ $x^2+x+1$ จะได้ $\omega^2$ ก็เป็นรากด้วย และ $\omega^3=1$

สมมติว่า $n=3k+r$ เมื่อ $r=0,1,2$

$\omega^{2n}+\omega^n+1=\omega^{2r}+\omega^{r}+1$

$=0$ ก็ต่อเมื่อ $r\neq 0$

ถ้าแทน $\omega^2$ ลงไปก็จะได้แบบเดียวกัน

ดังนั้น $x^2+x+1\left.\,\right| x^{2n}+x^n+1$ ก็ต่อเมื่อ $n$ ไม่เป็นพหุคูณของ $3$

2. สมมติว่า $37 | 10^{2n+2}+10^{n+1}+1$ จะได้ $111 | 10^{2n+2}+10^{n+1}+1$ ด้วย

เนื่องจาก $3|10^{2n+2}+10^{n+1}+1$ และ $[3,37]=111$

จากข้อ 1 จะได้ $n+1$ ไม่เป็นพหุคูณของ $3$ นั่นคือ $n$ ไม่อยู่ในรูป $3k+2$

[Let it be]

Who are you? POSN_Psychoror?
นี่มันโจทย์ค่าย สอวน เดือน มีนาคม ศูนย์สวนกุหลาบครับ