โจทย์ทักทายปีใหม่ และการเป็นสมาชิกใหม่

[aaaa]

ข้อ 1 ให้ \(x,y,z>0\) และ \(xyz=1\) จงพิสูจน์ว่า
\[x^{x-1}+y^{y-1}+z^{z-1}\geq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\]
(ขออภัยอย่างยิ่งครับ โจทย์เมื่อกี้ผิดพลาดครับ)

[gon]

คุณ aaaa ไม่สนใจลองหัดใช้สัญลักษณ์บ้างหรือครับ. จะได้อ่านเข้าใจง่ายขึ้น ใช้ง่ายออกนะมีให้เลือกได้ 2 ทาง คือ แบบง่าย ๆ คือ click ตรงเมนูข้างบน กับ ใช้ภาษา Latex นี่ผมก็กำลังหัดใช้ Latex ไปพร้อม ๆ กับตอบปัญหานี่ล่ะ

เดี๋ยวเขียนโจทย์ให้ใหม่ดังนี้นะครับ.

\(สำหรับทุกจำนวนจริง \, x, y, z > 0 , xyz = 1\)
จงพิสูจน์ว่า
\[x^{-1+x} + y^{-1+y} + z^{-1+z} \geq 3\]

[gon]

ว่าแล้วก็ลองคิดซะเลย.

\(f(x) = x^{x-1} เป็น \,convex function ทุก\, x > 0 \)
ดังนั้น\[\frac{x^{x-1} + y^{y-1} + z^{z-1}}{3} \geq \bigg(\frac{x+y+z}{3}\bigg)^{\frac{x+y+z}{3}-1}\]
\(โดย\, A.M. - G.M : \frac{x+y+z}{3} \geq (xyz)^{\frac{1}{3}} = 1\)
\(ดังนั้น\, \frac{x+y+z}{3} - 1 \geq 0\)

นั่นคือ \(L.H.S. \geq 3(1)^0 = 3\)

[gon]

โจทย์ยังเปลี่ยนอีกหรือครับ.
การใช้งาน Latex ในบอร์ดนี้ดูตรงนี้ครับ.
ดูที่นี้

ส่วน preiew ดูตรงนี้ Latex Preview