ถามคุณpicmy เรื่องอนุพันธ์ต่อค่ะ

[pacemaker]

๒) กราฟต่อเนื่อง แต่หาลิมิตของ [f(x)-f(x0)]/(x-x0) เมื่อ x เข้าใกล้ x0ไม่ได้ จะได้ว่าf(x) หาอนุพันธ์ที่จุด x=x0 ไม่ได้
๒.๑)ลิมิตของ [f(x)-f(x0)]/(x-x0) เมื่อ x เข้าใกล้ x0 ทางบวก หรือทางลบ หาค่าไม่ได้ เช่น f(x)=x*sin(1/x) สังเกตว่า f(x) ต่อเนื่องที่จุด x=0 โดยที่ f(0)=0 แต่ลิมิตของ [x*sin(1/x)-0]/(x-0) ไม่ว่าจะเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางบวกหรือทางลบ ต่างก็หาค่าไม่ได้ ดังนั้น f(x)ที่จุด x=0 หาอนุพันธ์ไม่ได้

>> หน้าตาของกราฟจะเป็นอย่างไรค่ะ

[picmy]

ลองดูที่ลิงค์ที่ให้มาข้างล่างดูนะคับ
http://www.math.tamu.edu/~sottile/te...3S/xsin1x.html
http://www2.scc-fl.edu/lvosbury/Calc...mplesExam1.htm

อธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชัน f(x)=x*sin(1/x)
ตามจริงแล้วฟังก์ชันนี้ไม่มีนิยามที่จุด x=0 เพราะเราไม่สามารถหาลิมิตของ sin(1/x) ได้
(ที่จริงแล้วค่าของ sin(1/x) จะแกว่งไปแกว่งมาในช่วงระหว่าง -1 ถึง 1 เมื่อ x เข้าใกล้ 0)
แต่ทว่า ลิมิตของ x*sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 มีค่าเท่ากับ 0 ดังนั้นเราสามารถนิยามเพิ่มเติมว่า f(0)=0 ได้
ซึ่งการกำหนดค่านี้ ทำให้ f(x) ต่อเนื่องที่จุด x=0

ถ้าดูจากกราฟเราจะเห็นได้ว่ากราฟแกว่งไปแก่วงมาถี่ขึ้นเรื่อยๆ เมื่อ x เข้าใกล้ 0 และนั่นเป็น"เหตุ"ให้อนุพันธ์ที่จุด x=0 หาค่าไม่ได้ (หรือเราสามารถเข้าใจแบบง่ายๆได้ว่า เพราะว่ากราฟแกว่ง"มากไป" เลยหาความชันไม่ได้)

จุดที่ควรสังเกตและระวังในการดูกราฟนี้คือ อย่ายึดติดกับโลกแห่งความเป็นจริงนะคับ อย่างเช่นว่าถ้าคุณดูเชือกที่ขดขึ้นลงไปมา คุณสามารถนับได้ว่าเชือกขดขึ้นลงทั้งหมดกี่รอบ แต่กราฟนี้ไม่ใช่นะครับ คุณไม่สามารถที่จะนับได้ว่า กราฟนี้"ขด"ขึ้นลงทั้งหมดกี่รอบ (ที่จริงแล้วขดขึ้นลง"อนันต์"รอบครับ ผมเคยทึ่งกับกราฟนี้เหมือนกัน ผมว่ามหัศจรรย์ดี)

ป.ล ไม่รู้ว่ายิ่งอธิบาย ยิ่งงงรึเปล่านะ ฮาๆๆๆ ถ้ามีอะไรสงสัยเพิ่มเติม ถามได้เสมอนะคับ ผมจะตอบด้วยความตั้งใจคับ