ข้อสอบโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์รอบที่ 2 วิชาคณิตศาสตร์
 

อัพเดทโจทย์ดีกว่า ลืมกระทู้นี้ไปนานแสนนาน (อัพเดทข้อ 7-12)

1. $24^n$ หาร (1)(2)(3)...(100) ลงตัว จงหา n ที่มากที่สุด

2. $2^a3^b5^c7^d$ หาร (1!)(2!)(3!)...(10!) ลงตัว จงหาค่าที่มากที่สุดของ a+b+c+d โดยที่
$ n!=1\times2\times3\times...\times (n-1)\times n $ โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก

3. คะแนนเฉลี่ยของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งเป็น 80 คะแนน คะแนนเฉลี่ยของคนที่สอบผ่านเป็น 84 คะแนน คะแนนของคนที่สอบไม่ผ่านเป็น 60 คะแนน จำนวนคนสอบไม่ผ่านน้อยกว่าคนสอบผ่านอยู่ 40 คน ผลรวมของคนที่สอบไม่ผ่านเป็นเท่าไหร่

4. $9^{x^2+2x+1}=\frac{1}{3^x}$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2 จำนวน จงหาผลคูณของราก

5. $ให้x=\sqrt[4]{33} แล้ว \frac{1}{2}(9x-\frac{1}{x})^2-\frac{(9x^2+1)^2}{2x^2} มีค่าเท่าใด$

6. จงหาผลบวกของสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2 และ x^5 จากการกระจาย (1+2x+3x^2)^3$

7. วันที่ 15 มกราคม 2551 เป็นวันออกสลากเลขท้าย 2 ตัวจงหาความน่าจะเป็นที่สลากที่ออกมีเลขโดดในหลักหน่วยเป็นเลขคู่และหลักสิบมากกว่าหลักหน่วยอยู่ 1 หรือ สลากนั้นเป็นเลขที่หารด้วย 6 ลงตัว

8. อัตตราส่วนของลูกบอลสีแดงต่อลูกบอลสีเหลืองเป็น 2:5 หลักจากำลูกบอลสีแดงเพิ่มเข้าไป 20 ลูกทำให้อัตตราส่วนนดังกล่าวเป็น 3:7 จงหาว่ามีลูกบอลสี
เหลืองกี่ลูก

9. กำหนดให้ $x^2+1= 1850 , y^3-1 = -12,168 \rightarrow \sqrt{(xy)^2}$ มีค่าเท่าใด

10. จำนวนเต็มบวกสองจำนวน โดยที่ผลคูณของสองจำนวนเป็น 8400 ค.ร.น ของสองจำนวนนี้เป็น 420 จงหาผลบวกของจำนวนแรกทุกค่าที่เป็นไปได้

11. ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก , AB และ BC เป็นด้านประกอบมุมฉากยาว 5 และ 12 หน่วย ตามลำดับ สร้างสี่เหลี่ยมจตุรัส ACHI ,ABED และ BCGF บนด้าน AC ,AB และ BC ตามลำดับ จงหาพื้นที่หกเหลี่ยม DEFGHI

12. เส้นแบ่งครึ่งมุม ABC พบกันภายในที่จุด D ถ้า มุมB= 76องศา และ AB+BD = AC จงหาขนาดของมุม C

1. และ 2. ใช้ทบ.เลอจองค์
1. เพราะว่า $24=2^3\times 3$ และ $2^{97}\mid 100!$ ซึ่ง 97 เป็นค่ามากสุด
แต่ $3\nmid 97$ เพราะฉะนั้น กำลังมากสุดของ $2$ คือ $96=3\times 32$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่ากำลังสูงสุดของ $3$ คือ $47$ เพราะฉะนั้น $n=32$ มั้ง
2. ก็เช่นเดียวกัน

ข้อ 1 ถูกนะครับ (ตามความคิดของผม)
ไม่ทราบว่า เลอจองค์ คือใคร สามารถอ่านทฤษฎีบทของเขาได้จากหนังสือเล่มไหนหรอครับ

ข้อ 3 ผมทำตามแบบของผมนะครับได้ คนที่ สอบไม่ผ่าน 10 คน คิดเป็นคะแนนทั้งหมด 600 คะแนนครับ ถูกป่าวครับ

ข้อแรกอ่าครับ ตรงที่ว่า2 ผสม 24 ได้ 32 นี่มาจาก 24 มี $2^3$เป็นตัวประกอบ ดังนั้นเมื่อคิด แค่ 2 อย่างเดียวมันจะได้ 97 ตัว แต่ถ้าเป็น 24 ก็ต้องหาร 3 รึป่าวครับ เพราะว่า จะเกิด 24 ต้องอาศัย 2 ทั้งหมด 3 ตัว ดังนั้น เมื่อ มี 97 ตัวก็ต้องนำมาหาร 3 เพื่อแบ่งเป็นกลุ่มว่าจะได้ 24 ทั้งหมดกี่ตัว รึป่าวครับ

เอ่อ
ผมลองทำข้อ 2ดูนะครับ ผมได้ 66 อ่าครับถูกป่าวครับ

ข้อ 2 ถูกครับ ข้อ 3 คิดได้เหมือนผมเลยแต่ผิดครับ TT เด๋วเพิ่มข้ออื่นๆให้นะครับ

ขอก๊อบนะครับ

จาก 3 สมการ จะได้ว่า $$(2n+40)80=84(n+40)+60n$$ แล้วแทนค่ากลับ

ข้อ 4 ผมได้ 1 ครับ
ข้อ 5 ได้ -18 ครับ
ข้อ 6 ได้75 คับ ถูกปะครับ รีบๆกลัวผิด
อิอิ

หง่า ข้อ 3 ผิดตรงไหนหรอครับ ผมว่ามันได้เท่านี้นะ
ชี้แนะด้วยคับ อิอิ

คำตอบคือ 4200 ครับไม่รู้ทำไมคงต้องรอเทพมาเฉลยอ่ะครับ(คิดได้เท่าผม TT)
ตอนที่ 2 คุณ teamman ถูกทุกข้อเลยครับ :great::laugh:

พี่กระตั้วเค้าเฉลยออกมาว่า 4200 ครับแต่ไม่รู้ว่าวิธีทำของผมถูกหรือเปล่านะแต่คำตอบตรงอ่ะครับ
คนสอบผ่าน 84 คะแนน x คน
คนสอบตก 60 คะแนน , x-40 ตน
เฉลี่ย 80 คะแนน , 2x-40 คน
จะได้คามสัมพันธ์ว่า
$\frac{คะแนนเฉลี่ยผ่าน+คะแนนเฉลี่ยตก}{จำนวนคน} = คะแนนเฉลี่ยแต่ละคน$
$\frac{84x+60(x-40)}{2x-40} = 80$
$x = 50$

คนสอบผ่านมี x คนเฉลี่ยคนละ 84 คะแนน คะแนนรวมเป็น $84\times50 = 4200$ ครับ

ข้อ 4 นะครับ คิดว่าทุกคนคงทำได้แล้วแต่ว่าเพื่อไม่ให้มันว่างไว้ผมเลยแสดงวิธีทำให้

จาก $9^{x^2+2x+1}=\frac{1}{3^x}$
จะได้ว่า $3^{2x^2+4x+2}=3^{-x}$
$2x^2+4x+2=-x$
$2x^2+5x+2=0$
ผลบวกของรากคือ $\frac{c}{a}$นั่นก็คือ 1 ครับผม
---------------------------------------จบ-----------------------------------------------

ข้อนี้ผมก็คิดว่าทุกคนคงทำได้เหมือนกันหมดนั่นแหละครับ

ตอนแรกเริ่มจาก$x^2+1= 1850$
$x^2=1849$
$x=\pm 43$
ต่อจากนั่น
$y^3-1 = -12,168$
$y^3=-12,167$
$y=-23$
ดังนั้น $\sqrt{(xy)^2}=\left|\,\right. xy\left.\,\right| =\left|\,\right. (23)(\pm 43)\left.\,\right| =989$ ด้วยประการชะนี้แล ^^ :mellow::)



ขอแก้เพิ่มข้อ 8 ไปหน่อยแล้วกันนะครับ (หลังจากดูการ์ตูนมาราธอนมาหลายชั่วโมง ^^)
ผมให้มีลูกบอลสีแดง มี x ลูก และ ลูกบอลสีเหลืองมี y ลูก
เราจะได้ว่า$\frac{x}{y}=\frac{2}{5}$
และ $\frac{x+20}{y}=\frac{3}{7}$
แล้วแก้สมการ สองตัวแปรธรรมดา จะได้ x= 280 และ y=700 ครับผม

ข้อ 5 นะครับผมได้ -18 เหมือนกันครับ
วิธ๊คิดก็
$ \frac{1}{2}(9x-\frac{1}{x})^2$ จากตรงนี้เราสามารถจัดรูปได้ใหม่ว่า
$ \frac{1}{2}(9x^2-x)^2(\frac{1}{x^2})$
แล้วเราก็มาแทนในโจทญืจะได้
$ \frac{1}{2}(9x^2-1)^2(\frac{1}{x^2})-\frac{(9x^2+1)^2}{2x^2}$
$ \frac{(9x^2-1)^2-(9x^2+1)^2}{2x^2}$
$ \frac{-36x^2}{2x^2}$
$-18$
คำตอบคือ -18 ครับ:cool::cool:

ข้อ1ตอบ32
ข้อ3ตอบ600คะแนน
ข้อ4ตอบ1
ข้อ5ตอบ-18
ข้อ7ตอบ1ใน5
ข้อ8ตอบ30ลูก
โอเคครับพอและ
ข้อที่เหลือที่เว้นว่างคือไม่แน่ใจก่ะทำไม่ได้ครับแล้วก็รวมถึงขี้เกียจคูณอย่างข้อ9ด้วยครับ

ข้อ 1 ตอบ 32
ข้อ 3 ตอบ 4200 คะแนน
ข้อ 4 ตอบ 0.21
ข้อ 5 ตอบ 66
ข้อ 7 ตอบ -18
ข้อ 8 ตอบ 1
ผมว่าคุณ Kira Yamato ใส่คำตอบผิดข้อนะครับ

ข้อ11นะครับ

ต่อ $BC$ ออกมาถึง $X$ โดยให้ $BC=CX$
พิจารณา สามเหลี่ยม$ACX$ และสามเหลี่ยม$HCG$
$AC=CH$
$CX=CG$
มุม$ACX=$มุม$HCG$
ดังนั้น สามเหลี่ยม$ACX$เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม$HCG$
$[\Delta HCG]=[\Delta ACX]=\frac{1}{2}\times12\times5=30$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $\Delta DAI$เท่ากันทุกประการกับ$\Delta AYC$
$[\Delta DAI]=[\Delta AYC]=\frac{1}{2}\times5\times12=30$
พื้นที่รูปหกเหลี่ยม $DEFGHI=$พื้นที่สี่เหลี่ยม$ABED+$พื้นที่สี่เหลี่ยม$ACHI+$พื้นที่สี่เหลี่ยม$BCGF+$พื้นที่สามเหลี่ยม$DAI+$พื้นที่สามเหลี่ยม$ABC+$พ ื้นที่สามเหลี่ยม$BEF+$พื้นที่สามเหลี่ยม$CGH$
$=25+169+144+30+30+30+30=458$

ถูกต้องครับ ผมทำมานานแล้วข้อนี้ ไม่ออกซะที ขอบคุณสำหรับวิธีทำครับคุณ winlose :great:

ข้อ6ครับ เห็นมีแต่คำตอบไม่มีวิธีทำ
$(1+2x+3x^2)^3=\binom{3}{3,0,0}+\binom{3}{2,1,0}(2x)+$$\binom{3}{2,0,1}(3x^2)$$
+$$\binom{3}{1,2,0}(2x)^2$$+\binom{3}{1,0,2}(3x^2)^2+\binom{3}{1,1,1}(2x)(3x^2)
+\binom{3}{0,3,0}(2x)^3+\binom{3}{1,2,0}(2x)^2
+\binom{3}{0,2,1}(2x)^2(3x^2)+$$\binom{3}{0,1,2}(2x)(3x^2)^2$$+\binom{3}{0,0,3}(3x^2)^3$
สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $\binom{3}{2,0,1}(3x^2)+\binom{3}{1,2,0}(2x)^2=9x^2+12x^2=21x^2$
สัมประสิทธิ์ของ $x^5$ คือ $\binom{3}{0,1,2}(2x)(3x^2)^2=54x^5$
ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $x^5$ คือ $21+54=75$
ปล.ผมไม่แน่ใจนะครับว่าเขียนกระจายครบรึยัง:aah: แต่พจน์ $x^2$ และ $x^5$ มีอยู่แค่นั้นแหละครับ:D

คำตอบถูกแต่วิธีทำอาจจะไม่ได้คะแนนเลยนะครับเพราะเกินหลักสูตรมา
ผมใช้วิธีการตั้งคูณตามแบบเรียน สอวน. ครับ เร็วดี

เสริมข้อ 11 ครับ ข้อนี้เป็นข้อสอบรอบแรกของปีที่แล้วครับ ไม่ใช่รอบที่ 2 โจทย์ข้อนี้เคยมีการถามในกระทู้เก่าหลายครั้งแล้วครับ จริงๆ โจทย์ข้อนี้เคยเป็นข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ของสมาคมหลายปีก่อนโน้น บางคนอาจจำเลยก็ได้ว่าพื้นที่ที่ว่าก็ คือ $(a+b)^2+c^2$

ตอบ 38 องศา หรือเปล่าครับ :)

$AB+BD=AC$
$AE+EB+BD=AG+GC$
จาก $AE=AG$
$EB+BD=GC$
$\frac{r}{\sin38}+r\cot38=r\cot\theta$
$r\csc38+r\cot38=r\cot\theta$
$r(\csc38+\cot38)=r\cot\theta$
$\csc38+\cot38=\cot\theta ...(1)$
จากเอกลักษณ์ $\csc^2\theta-\cot^2\theta=1 ...(2)$
$\frac{(2)}{(1)}; \csc38-\cot38=\frac{1}{\cot\theta} ...(3)$
$(1)+(3); 2\csc38=\cot\theta+\frac{1}{\cot\theta}$
$2\csc38=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$
$2\csc38=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$
$(2\sin\theta\cos\theta)\csc38=1$
$ \frac{\sin2\theta}{\sin38}=1$
ดังนั้น $\sin2\theta=\sin38$
เนื่องจาก มุม$C=2\theta มากกว่า $0$ แต่น้อยกว่า $104$
ดังนั้น 2\theta=38$ only :great:

ถูกต้องครับคุณ warutT :great:

ขอบพระคุณมากๆฮับสำหรับวิธีทำข้อนี้ ^^

[quote='[SIL];40179']อัพเดทโจทย์ดีกว่า ลืมกระทู้นี้ไปนานแสนนาน (อัพเดทข้อ 7-12)

4. $9^{x^2+2x+1}=\frac{1}{3^x}$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2 จำนวน จงหาผลคูณของราก

ข้อนี้นะคร้าบ
$9^{x^2+2x+1}=\frac{1}{3^x}$
$3^{2x^2+4x+2}=3^{-x}$
เพราะฉะนั้น
$2x^{2}+4x+2= -x$
$2x^{2}+5x+2=0$
โจทย์ถามผลคูณค่าราก
ก็ $\frac{2}{2}=1$
คุณSiLครับข้อนี้ผมว่าผมถูกแล้วนาครับ
ผิดตรงไหนบอกด้วย
ปล.ผมมาแทน Kira Yamato คนเก่าครับ
เผอิญผมLog in อันเก่าไม่ได้ครับ

ข้อ5ก่อนครับ$\frac{1}{2}(9x-\frac{1}{x})^2-\frac{(9x^2+1)^2}{2x^2}=?$
จัดรูปจะได้ว่า $frac{(9x^2-1)^2}{2x^2}-frac{(9x^2+1)^2}{2x^2}$
มันก็คือผลต่างกำลัง2
จะได้ $\frac{(9x^2-1-9x^2-1)(9x^2-1+9x^2+1}{2x^2}$
$\frac{(-2)(18x^2)}{2x^2}$
$\frac{-36x^2}{2x^2} = -18$
ผิดตรงไหนบอกด้วยครับ

ข้อ7ครับ
จะเห็นว่าเลขท้าย2ตัวอ่ะครับ
มี 00-99ครับ เขาบอกมา2กรณีเอากรณีแรกก่อนล่ะกันครับ
เขาบอกว่าหลักหน่วยต้องเป็นเลขคู่ ซึ่งก็มี 0,2,4,6,8หลัก10มากกว่าหลักหน่วยอยู่1แสดงว่า
เลขสลากในกรณีนี้มี 10 ,32 ,54 , 76 ,98 ครับมี5จำนวน
กรณีที่2คือ หรือ6หารลงตัว ผมก็ใช้วิธีปัญญาอ่อนแหละครับ
นั่งไล่ท่องสูตรคูณครับ ก็มี 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96มี17จำนวน
แต่มีเลขซำอยู่1จำนวนคือ 54
ดังนั้น สลากจึงจำได้ 16+5=21
ความน่าจะเป็นจึง =0.21

ขอบคุณครับ สุดยอด

ผมเห็นหัวข้อแล้วไม่ตรงกับห้องเลยครับ อยากจะเสนอให้ย้ายกระทู้นี้ไปอยู่ในที่กระทู้ของปัญหาหรือข้อสอบโรงเรียน ม.ต้น เพราะอีกหน่อยถ้าใครจะมาค้นจะได้ง่าย ไม่รู้ว่าจะดีมั้ยครับ เพราะเห็นว่าเนื้อหาคงเป็นประโยชน์สำหรับรุ่นต่อๆ ไป เวลาจะมาหาข้อมูลหรือโจทย์จะได้เจอครับ
ปล.ทางผู้ดูแลถ้าไม่เห็นด้วยลบกระทู้นีได้เลยครับ หรือถ้าย้ายแล้วก็ลบได้เช่นกันครับ

ผมเห็นด้วยที่ว่าจะได้หาง่ายอ่ะครับ
เดี๋ยวขอเคลียร์ข้อ8ต่อเลยล่ะกันนะครับ
8. อัตตราส่วนของลูกบอลสีแดงต่อลูกบอลสีเหลืองเป็น 2:5 หลักจากำลูกบอลสีแดงเพิ่มเข้าไป 20 ลูกทำให้อัตตราส่วนดังกล่าวเป็น 3:7 จงหาว่ามีลูกบอลสีเหลืองกี่ลูก
ผมให้ มีลูกบอลสีแดง r ลูก แล้วก็สีเหลือง yลูกล่ะกันครับ
จากโจทย์ จะเห็นว่า
$\frac{r}{y} = \frac{2}{5} $
$ 5r=2y$
$5r-2y=0$............................(1)
ถ้าเพิ่มลูกแดงไป20ลูก ก็จะได้ว่า
$\frac{r+20}{y}=\frac{3}{7}$
$7r+140=3y$
$7r-3y=-140$.....................(2)
7(1)-5(2) ; $35r-14y -35r+15y=140$
$y=140$
เพราะงั้นมีลูกบอลสีเหลียง 140ลูกครับ

โห นี่หรือข้อสอบมหิดลรอบ 2 -_- เห็นแล้วท้อเลยอ่า T^T เสาร์นี้ก็สอบแล้วด้วย สู้ๆนะฮับทุกคน ^^

ข้อนี้น่าจะตอบ 700 นะครับ ผมว่าคุณ โคออดิเนเตอร์สุดเทพ ผิดบรรทัดนี้ครับ คงลืมคุณ 140 ด้วย 5ด้วย หน่ะครับ:happy::happy:

ขอโทษครับ
คิดเลขผิดขอแก้ได้มั๊ยครับ

คนเรามันก็ต้องมีผิดพลาดมั่งล่ะฮับ ^^ แต่ถ้าไปผิดตอนสอบจริงนี่ก็คงโมโหแน่เลย -*- จริงมั๊ย ?? คุณ Kira ^^

สองตัวนี้มันเป็นเลขหลักเดียวนี่นาผมว่ามันไม่น่าจะนับนะครับน่าจะเป็น 0.19 อ่ะผมว่า เพราะมันเป็นเลขท้าย2ตัวอ่ะ

นับครับ
เพราะว่าเงื่อนไขที่2เขาไม่ได้บอกว่าต้องเป็น2หลักนี่ครับ
เขาแค่บอกว่า หรือ จำนวนที่6หารลงตัวครับ ไม่ได้บอกว่าต้องเป็น2หลัก
อีกอย่างนะครับมันก็เป็นสลาก2ตัวท้ายได้เหมือนกันแหละครับ 06ก่ะ00ไงครับ

ผมไม่แน่ใจว่าข้อ 7 ผมจะคิดตรงรึป่าวนะฮับ ??
ผมจำแนกว่ากรณีทั้งหมดที่สลากจะออกเลขท้าย 2 ตัวได้ก็มีตั้งแต่ 00-99 ซึ่งมีทั้งหมด 100 ตัว
จากโจทย์กรณีแรกคือเลขโดในหลักสิบมากกว่าในหลักหน่วยอยู่ 1 และหลักหน่วยเป็นเลขคู่นั้นน่ะ เราจะได้เลขตามเงื่อนไขดังนี้ 10,32,54,76,98 ได้ทั้งหมด 5 ตัว
ส่วนกรณี 2 6 หารลงตัวก็มีดังนี้ 00,06,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96 ได้ทั้งหมด 17 ตัว
พอเอามารวมกันมันได้ทั้งหมด 5+17 = 22 ตัวตามเงื่อนไข แต่ทว่าทั้ง 2 เงื่อนไขต่างก็มี 54 เหมือนกันทั้งคู่เราก็เลยต้องหักออกไป 1 จะได้ไม่ซ้ำกันก็จะเหลือทั้งหมด 22-1 = 21 ตัวน่ะฮับ ^^
ดังนั้น คำตอบก็น่าจะเป็น $\frac{21}{100} $ = 0.21 นะฮับ (ถูกป่าวหว่า :mad:)

จริงด้วยขอโทษนะครับ :sweat::sweat:

ไม่เป็นไรหรอกฮับ ใครๆก็ผิดพลาดกันได้ทั้งนั้น ^^ :sung:

ตอบ 0.21 อย่างที่คุณ Athrun Zala บอกจริงๆครับ