Sequences and Series Marathon
 

เนื่องจากผมเห็นว่ามีmarathonในหลายหัวข้อละครับแต่ขาดหัวข้อนี้ผมเลยตั้งขึ้นมาใหม่ครับ :p
1)จงหาพิกัดของจุดcentroidของสามเหลี่ยมที่มีพิกัดของจุดยอดเป็น$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$
2)จงหาพื้นที่และเส้นรอบรูปของรูปเกล็ดหิมะ(จำชื่อในภาษาอังกฤษไม่ได้ละครับ)

มาราธอนที่หก :eek:
ข้อแรกหากจำไม่ผิดตอบ $(\frac{x_0+x_1+x_2}{3},\frac{y_0+y_1+y_2}{3})$ ครับ
ข้อสอง(ค่อยเข้ากับหัวข้อหน่อย)เป็นเกล็ดหิมะแบบไหนเอ่ย...

หมายถึง koch snowflake curve รึเปล่าครับ
อ้างอิงจาก รูปเกล็ดหิมะ
จะพบว่า เส้นรอบรูปลู่ออก แต่ว่า พื้นที่ลู่เข้า มันดูผิดธรรมชาติ ??

ไชโยมีรายการแข่งมาราธอนอีกรายการนึงแล้ว แต่เอ...เท่าที่ประเมินดูรู้สึกว่าจะเหลือนักวิ่งไม่กี่คนแล้วนะครับ :laugh: :laugh:

คำตอบข้อ1ของคุณnongtumถูกละครับแต่ผมอยากให้แสดงวิธีทำ
โดยใช้ลำดับหรืออนุกรมเข้ามาทำครับจะได้สอดคล้องกับกระทู้นี้ :D
ละก็ขอบคุณพี่M@gpieสำหรับข้อมูลเกล็ดหิมะด้วยครับ :please:

3.Evaluate
$$\sin1+\frac{\sin2}{2!}+\frac{\sin3}{3!}+\frac{\sin4}{4!}+...$$

1)Hint : Medial Trianglesssssss... :p
ผมคิดว่ากติกาของกระทู้นี้ก็เอาเหมือนmarathonกระทู้อื่นเลยดีไหมครับ :D
ก็คือคนที่ตอบถูกจะเป็นคนหาโจทย์ใหม่มาหรือสมาชิกท่านอื่นเห็นว่าอย่างไร

ข้อ 3 ขอตอบเป็น general form เลยนะครับ

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $ z $

$$ e^z= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} $$

ถ้าให้ $ z_0 = e^{i \theta}$ ดังนั้น $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin n\theta}{n!}=Im(e^{z_0})= e^{\cos \theta}\cdot \sin(\sin \theta) $$

เมื่อแทน $ \theta =1 $ ก็จะได้ คำตอบของข้อ 3 ครับ :sung:

ต่อด้วยข้อ 4

ให้ $ F_1= 1 , F_2=1 $ และ $ F_{n+1}= F_n + F_{n-1} \,\, ,n \geq 2 $

หาค่า $$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{F_{n-1}F_{n+1}} $$

4)$\displaystyle{\because F_{n+1}-F_{n-1}=F_n \therefore \frac{1}{F_{n-1}F_{n+1}}=\frac{1}{F_n} \left[ \frac{1}{F_{n-1}}-\frac{1}{F_{n+1}} \right]}$
$ \displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{F_{n-1}F_{n+1}}= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{F_n}\left[ \frac{1}{F_{n-1}}-\frac{1}{F_{n+1}} \right]}$
$\displaystyle{=\left[\frac{1}{F_{1}F_{2}}-\frac{1}{F_{2}F_{3}}\right]+\left[\frac{1}{F_{2}F_{3}}-\frac{1}{F_{3}F_{4}}\right]+\cdots=\frac{1}{F_{1}F_{2}}=1}$
ต่อด้วยข้อ5เลยละกันนะครับ :D
5)$Evaluate\;the\;series\;\displaystyle{\frac{1}{6}+\frac{1}{36}+\frac{3}{216}+\frac{17}{1296}+\frac{83}{7776}+\cdots}$
ขออภัยครับงั้นผมขอเปลี่ยนใหม่นะครับ
5)จงหา3พจน์ถัดไปของลำดับ$\longrightarrow1, 11, 21, 1211, 111221,\cdots$

ข้อ 5. เล่นไปแล้วที่นี่ครับ

ลำดับในข้อ 5. อันใหม่ ก็มีการพูดถึงกันหลายครั้งแล้วครับ ลอง search หา 111221 ดูสิครับ

ลำดับในข้อ 5 อันใหม่นี้ เรียกว่า Look-and-Say sequence ครับ โดยผู้ที่เริ่มศึกษาคนแรกๆ คือ John H. Conway

ส่วน link ข้างล่างนี้ เป็น application อย่างหนึ่งของลำดับนี้ ที่ใช้ในชีวเคมี ครับ
http://www.uam.es/personal_pdi/cienc...in/Biochem.PDF ซึ่งก็จะเหมือนกับที่ลงใน Maths monthly เมื่อเดือน เมษายน

หวังว่าข้อนี้คงยังจะไม่เคยเล่นกันนะครับ :D
$6)Evaluate\;the\;series\;\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{17}+\cdots$

ถ้าข้อ 6. ของคุณ Timestopper_STG หมายถึง $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} \coth\pi - \frac{1}{2} $$ แล้วล่ะก็ คุณ gon เคยแสดงวิธีทำไปแล้วครับ

7.Approximate
$$\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n}$$